on aura
multiplious cette équation par 
que nous supposerons égal à 
et l’on aura
Or, par le Théorème connu de Fermat, que M. Euler a démontré dans les Commentaires de Pétersbourg, on sait que si 
est un nombre premier quelconque et 
un autre nombre quelconque non divisible par 
sera toujours divisible par 
Donc, si l’on suppose que 
ne soit pas divisible par on aura les deux nombres 
et 
divisibles à la fois par à cause que 
n’est jamais divisible par quel que soit 
(hypothèse). Donc le nombre 
sera divisible par de sorte que, si ni 
ni 
n’étaient divisibles par il faudrait que 
le fût, à cause que est un nombre premier par l’hypothèse. Ainsi la difficulté se réduit à prouver que l’on peut toujours prendre et tels que ni ni ne soient pas divisibles par ne l’étant pas non plus.
Pour cela je remarque d’abord que, quelle que soit la valeur de 
on peut toujours trouver une valeur de plus petite que et par conséquent non divisible par telle que ne soit pas divisible par Car si l’on substitue successivement dans l’expression de les nombres 
jusqu’à 
inclusivement à la place de 
et qu’on nomme 
les valeurs résultantes de 
on aura, par la théorie connue des différences,
Or, si tous les nombres 
jusqu’à 
étaient divisibles par il faudrait que le nombre 
le fût aussi ; ce qui ne pouvant être à cause que est premier, il s’ensuit que parmi les nombres 
il s’en trouvera nécessairement quelqu’un qui ne sera pas divisible par 
donc, etc.
