ces deux-ci
![{\displaystyle {\frac {c+\alpha a+\alpha ^{2}b}{3}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {b+\alpha c+\alpha ^{2}a}{3}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34afc77a85d1747f0cdeb886083350d9339f25c0)
qui sont la sixième et la quatrième ; et si l’on multiplie de même la seconde par
et par
on aura
![{\displaystyle {\frac {b+\alpha a+\alpha ^{2}c}{3}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {c+\alpha b+\alpha ^{2}a}{3}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b1c2baadb28533cdb2511d9bef238887625f641)
qui sont la troisième et la cinquième. Il en sera de même si l’on multiplie la troisième et la quatrième, ou la cinquième et la sixième par
et par
car on aura par là également toutes les autres.
7. Cela nous conduit à une méthode directe pour trouver la réduite d’où dépend la résolution des équations du troisième degré ; car soit
![{\displaystyle x^{3}+mx^{2}+nx+p=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08f92f15681e25b6c79d3c95da4b82f086d92f8b)
l’équation proposée dont les racines soient
et supposons que les racines de la réduite soient représentées généralement par une fonction du premier degré des racines
telle que
![{\displaystyle \mathrm {A} a+\mathrm {B} b+\mathrm {C} c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84b208d202e2030923813a019e1156dec3fe793c)
étant des coefficients indépendants des quantités
en faisant toutes les permutations possibles des quantités
on aura ces quantités
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {A} a+\mathrm {B} b+\mathrm {C} c,\\&\mathrm {A} a+\mathrm {B} c+\mathrm {C} b,\\&\mathrm {A} b+\mathrm {B} a+\mathrm {C} c,\\&\mathrm {A} b+\mathrm {B} c+\mathrm {C} a,\\&\mathrm {A} c+\mathrm {B} b+\mathrm {C} a,\\&\mathrm {A} c+\mathrm {B} a+\mathrm {C} b,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7d9470ba7e716a7b1464fceb00ecad63f91fe72)
qui seront les six racines de la réduite. Or, pour que cette équation n’ait que des puissances dont les exposants soient multiples de
il faut, comme nous l’avons vu plus haut, que, nommant
une de ses racines,