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Faisant donc, pour abréger,

${\begin{aligned}r=&a+\alpha b+\alpha ^{2}c,\\s=&a+\alpha c+\alpha ^{2}b,\end{aligned}}$

on aura $r,\alpha r,\alpha ^{2}r$ et $s,\alpha s,\alpha ^{2}s$ pour les six racines de la transformée ; or, nommant $y$ l’inconnue de cette équation, on trouvera d’abord que le produit des trois facteurs $y-r,y-\alpha r,y-\alpha ^{2}r$ sera $y^{3}-r^{3},$ et que de même le produit des trois autres sera $y^{3}-s^{3},$ de sorte que le produit total, c’est-à-dire la réduite elle-même, sera représentée par

$y^{6}-\left(r^{3}+s^{3}\right)y^{3}+r^{3}s^{3}=0,$

qui a la forme demandée. Il ne s’agit donc plus maintenant que de trouver les valeurs de $r^{3}+s^{3}$ et de $r^{3}s^{3}\,:$ or, en élevant au cube la quantité $r$ et faisant attention que $\alpha ^{3}=1,$ on trouve

$r^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+6abc+3\alpha \left(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\right)+3\alpha ^{2}\left(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\right),$

et par conséquent, en changeant $b$ en $c,$ on aura de même

$s^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+6abc+3\alpha \left(a^{2}c+c^{2}b+b^{2}a\right)+3\alpha ^{2}\left(c^{2}a+b^{2}c+a^{2}b\right).$

Soit, pour plus de simplicité,

${\begin{aligned}&a^{3}+b^{3}+c^{3}+6abc=\mathrm {L} ,\\&a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a=\mathrm {M} ,\\&a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b=\mathrm {N} ,\end{aligned}}$

on aura donc

${\begin{aligned}r^{3}=&\mathrm {L+3\alpha M+3\alpha ^{2}N} ,\\s^{3}=&\mathrm {L+3\alpha N\ +3\alpha ^{2}M} ,\end{aligned}}$

donc

$r^{3}+s^{3}=2\mathrm {L} +3\left(\alpha +\alpha ^{2}\right)(\mathrm {M+N} )\,;$

mais comme $1,\alpha$ et $\alpha ^{2}$ sont les trois racines de l’équation $x^{3}-1=0$ qui manque du second terme, on doit avoir

$1+\alpha +\alpha ^{2}=0\,;$

donc

$r^{3}+s^{3}=2\mathrm {L-3(M+N)} .$