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Multipliant ensuite les valeurs de $r^{3}$ et $s^{3}$ ensemble, on aura

$r^{3}s^{3}=\mathrm {L^{2}+9\left(M^{2}+N^{2}\right)+\left(3\alpha +\alpha ^{2}\right)\left[L(M+N)+3MN\right]} ,$

ou bien, à cause de $\alpha +\alpha ^{2}=-1,$

$r^{3}s^{3}=\mathrm {L\left[L-3(M+N)\right]+9\left[(M+N)^{2}-3MN\right]} \,;$

or il est facile de voir que les quantités $\mathrm {L,M+N}$ et $\mathrm {MN}$ doivent être données par les coefficients $m,n,p$ de la proposée, et cela sans extraction de racines, ce qui suit de ce que ces quantités ne changent point, quelques permutations des quantités $a,b,c$ qu’on y fasse, de sorte qu’elles ne peuvent avoir chacune qu’une valeur unique.

8. En effet, ayant

$-m=a+b+c,\quad n=ab+ac+bc,\quad -p=abc,$

on aura d’abord par les règles connues

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=m^{2}-2n,\quad a^{3}+b^{3}+c^{3}=-m^{3}+3mn-3p,$

et l’on trouvera de là

$a^{3}b^{3}+a^{3}c^{3}+b^{3}c^{3}=n^{3}-3mnp+3p^{2}\,;$

donc

${\begin{aligned}&\mathrm {L} =-m^{3}+3mn-9p,\\&\mathrm {M+N} =3p-mn,\\&\mathrm {MN} =n^{3}+p\left(m^{3}-6mn\right)+9p^{2}\,;\end{aligned}}$

d’où l’on trouvera

${\begin{aligned}&r^{3}+s^{3}=-2m^{3}+9mn-27p,\\&r^{3}s^{3}=m^{6}-9m^{4}n+27m^{2}n^{2}n-27n^{3}=\left(m^{2}-3n\right)^{3},\end{aligned}}$

de sorte que notre réduite sera

$y^{6}+\left(2m^{3}-9mn+27p\right)y^{3}+\left(m^{2}-3n\right)^{3}=0,$

qui revient au même que celle qu’on a trouvée plus haut (5), en faisant seulement attention que l’inconnue $y$ de celle-ci est triple de l’inconnue $y$