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de celle-là. Résolvant donc cette équation à la manière de celles du second degré, ou bien faisant, pour abréger, $y^{3}=z,$ en sorte que l’on ait

$z^{2}+\left(2m^{3}-9mn+27p\right)z+\left(m^{2}-3n\right)^{3}=0,$

et nommant $z'$ et $z''$ les racines de cette équation du second degré, on aura

$y^{3}=z',\quad y^{3}=z'',$

donc

$y={\sqrt[{3}]{z'}}\quad {\text{ou}}\quad y={\sqrt[{3}]{z''}}\,;$

par conséquent, puisqu’on a supposé que $r$ et $s$ étaient deux valeurs de $y,$ on aura

${\begin{aligned}r=&a+\alpha b+\alpha ^{2}c={\sqrt[{3}]{z'}},\\s=&a+\alpha c+\alpha ^{2}b={\sqrt[{3}]{z''}},\end{aligned}}$

équations qui étant combinées avec l’équation

$a+b+c=-m$

serviront à trouver les trois racines $a,b,c\,;$ en effet on aura, à cause de $\alpha ^{3}=1$ et de $1+\alpha +\alpha ^{2}=0,$

${\begin{aligned}a=&{\frac {-m+{\sqrt[{3}]{z'}}+{\sqrt[{3}]{z''}}}{3}},\\b=&{\frac {-m+\alpha ^{2}{\sqrt[{3}]{z'}}+\alpha {\sqrt[{3}]{z''}}}{3}},\\c=&{\frac {-m+\alpha {\sqrt[{3}]{z'}}+\alpha ^{2}{\sqrt[{3}]{z''}}}{3}},\end{aligned}}$

ce qui s’accorde avec ce qu’on a trouvé plus haut.

9. Il est à propos de remarquer encore, pour éclaircir davantage cette matière, que les quantités $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ du n^o 7 sont telles que l’une devient toujours l’autre en y faisant une permutation quelconque entre les trois racines $a,b,c,$ de sorte que ces quantités $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ ne peuvent être que les racines d’une équation du second degré. En effet, nommant $t$ l’inconnue de cette équation, il est clair qu’elle aura nécessairement cette forme

$t^{2}-(\mathrm {M+N} )t+\mathrm {MN} =0\,;$