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valeur qui étant substituée dans l’équation

$x^{2}=bx+a+y$

donnera celle-ci, où je fais, pour plus de simplicité, $b+m=c,$ $b^{2}+mb+n=d,$

$\left[c(a+y)+p\right]^{2}+b\left[c(a+y)+p\right](d+a+y)-(a+y)(d+a+y)^{2}=0,$

c’est-à-dire, en ordonnant les termes par rapport aux puissances de $a+y,$ et remettant les valeurs de $c$ et $d,$

(B)

$\left\{{\begin{aligned}&(y+a)^{3}-\left(mb+m^{2}-2n\right)(y+a)^{2}\\&\quad +\left[nb^{2}+(mn-3p)b+n^{2}-2mp\right](y+a)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -p\left(b^{3}+mb^{2}+nb+p\right)=0,\end{aligned}}\right.$

de sorte qu’en développant les puissances de $y+a,$ on aura l’équation

$y^{3}+\mathrm {A} y^{2}+\mathrm {B} y+\mathrm {C} =0,$

dans laquelle

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&3a-mb-m^{2}+2n,\\\mathrm {B} =&3a^{2}-2a\left(mb+m^{2}-2n\right)+nb^{2}+(mn-3p)b+n^{2}-2mp,\\\mathrm {C} =&a^{3}-\left(mb+m^{2}-2n\right)a^{2}+\left[nb^{2}+(mn-3p)b+n^{2}-2mp\right]a\\&-p\left(b^{3}+mb^{2}+nb+p\right).\end{aligned}}$

Maintenant on peut faire évanouir le second et le troisième terme en supposant $\mathrm {A} =0$ et $\mathrm {B} =0,$ ce qui donnera ces deux équations

${\begin{aligned}&3a-mb-m^{2}+2n=0,\\&3a^{2}-2a\left(mb+m^{2}-2n\right)+nb^{2}+(mn-3p)b+n^{2}-2mp=0,\end{aligned}}$

par lesquelles on pourra déterminer $a$ et $b\,;$ et l’équation en $y$ sera réduite à la forme

$y^{3}+\mathrm {C} =0,$

laquelle donne sur-le-champ ces trois racines

$y=-{\sqrt[{3}]{\mathrm {C} }},\quad y=-\alpha {\sqrt[{3}]{\mathrm {C} }},\quad y=-\alpha ^{2}{\sqrt[{3}]{\mathrm {C} }},$

$1,\alpha$ et $\alpha ^{2}$ étant les racines de l’équation $x^{3}-1=0.$ Ainsi mettant