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pourra avoir en tout six valeurs, qui seront

${\begin{aligned}&{\frac {x'^{2}+\alpha x''^{2}+\alpha ^{2}x'''^{2}}{x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''}},\\&{\frac {x'^{2}+\alpha x'''^{2}+\alpha ^{2}x''^{2}}{x'+\alpha x'''+\alpha ^{2}x''}},\\&{\frac {x''^{2}+\alpha x'''^{2}+\alpha ^{2}x'^{2}}{x''+\alpha x'''+\alpha ^{2}x'}},\\&{\frac {x''^{2}+\alpha x'^{2}+\alpha ^{2}x'''^{2}}{x''+\alpha x'+\alpha ^{2}x'''}},\\&{\frac {x'''^{2}+\alpha x'^{2}+\alpha ^{2}x''^{2}}{x'''+\alpha x'+\alpha ^{2}x''}},\\&{\frac {x'''^{2}+\alpha x''^{2}+\alpha ^{2}x'^{2}}{x'''+\alpha x''+\alpha ^{2}x'}},\end{aligned}}$

de sorte que, généralement parlant, l’équation en $b$ devrait être du sixième degré ; mais j’observe que des six valeurs précédentes la première, la troisième et la cinquième sont égales, ainsi que la seconde, la quatrième et la sixième. En effet, en multipliant le numérateur et le dénominateur de la première par $\alpha ,$ ce qui ne la change pas, elle devient la cinquième, à cause de $\alpha ^{3}=1$ et de $\alpha ^{4}=\alpha \,;$ et multipliant par $\alpha ^{2},$ elle devient la troisième ; de même, en multipliant le haut et le bas de la seconde par $\alpha ,$ on aura la quatrième, et en multipliant par $\alpha ^{2},$ on aura la sixième. Donc l’équation en $b$ du sixième degré aura nécessairement trois racines égales entre elles et trois autres aussi égales entre elles ; ce qui l’abaissera au second degré, puisqu’elle ne pourra être que le cube d’une équation du second degré ; et voilà pourquoi la quantité $b$ est donnée simplement par une équation du second degré, comme nous l’avons vu ci-dessus (10). À l’égard de la quantité $a,$ si l’on ajoute ensemble les trois équations (C), on aura, à cause de $1+\alpha +\alpha ^{2}=0,$

$x'^{2}+x''^{2}+x'''^{2}=b(x'+x''+x''')+3a\,;$

mais on a

$x'+x''+x'''=-m\quad {\text{et}}\quad x'^{2}+x''^{2}+x'''^{2}=m^{2}-2n\,;$

donc

$m^{2}-2n=-bm+3a,$