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ou bien (8)

${\frac {z'+2\mathrm {L} +18p}{3\left(m^{2}-3n\right)}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {z''+2\mathrm {L} +18p}{3\left(m^{2}-3n\right)}},$

$z'$ et $z''$ étant les racines de l’équation

$z^{2}+\left(2m^{3}-9mn+27p\right)z+\left(m^{2}-3n\right)^{3}=0$

qui est la réduite que donne la méthode de Cardan.

Ce qui fait voir clairement la liaison et l’analogie de cette méthode avec celle de Tschirnaus.

17. L’expression de $x$ trouvée (10) d’après la méthode de Tschirnaus peut se mettre évidemment sous cette forme

$x={\frac {f+gy}{k+y}},$

$f,g$ et $k$ étant des indéterminées et $y$ la racine d’une équation du troisième degré à deux termes telle que

$y^{3}+h=0.$

Ainsi il n’y aurait qu’à éliminer $y$ par le moyen de ces deux équations, dont la première donne

$y={\frac {f-kx}{x-g}},$

ce qui étant substitué dans la seconde, il vient

$h+\left({\frac {f-kx}{x-g}}\right)^{3}=0,$

équation du troisième degré qu’on pourra comparer avec la proposée ; et cette comparaison servira à déterminer les quantité $f,g,k,h,$ dont une restera arbitraire et pourra être prise à volonté.

Cette méthode de résoudre les équations du troisième degré a déjà été employée par M. Bezout dans un excellent Mémoire qu’il a donné sur cette matière dans le volume des Mémoires de l’Académie des Sciences de