Paris, pour l’année 1762, et dans lequel l’Auteur a fait un usage utile et heureux de ces substitutions pour résoudre une classe très-étendue d’équations de tous les degrés. Nous nous contenterons de remarquer ici que si l’on voulait savoir d’avance ce que l’on peut se promettre des substitutions dont il s’agit pour la résolution des équations du troisième degré, il n’y aurait qu’à chercher à priori le degré et la forme de l’équation qui donnera l’un des coefficient 
ou 
etc. ; pour cela on considérera que, puisque 
on aura ces trois valeurs de 
savoir ![{\displaystyle -{\sqrt[{3}]{h}},-\alpha {\sqrt[{3}]{h}},-\alpha ^{2}{\sqrt[{3}]{h}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3b16d8b4c7a31dcfbe7f45796d0231c89e4f828)
lesquelles étant substituées dans l’expression de
donneront les trois valeurs de 
savoir 
Ainsi prenant l’équation
ou bien
on en déduira ces trois-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}&kx'\ \ -f-(x'\ \ -g){\sqrt[{3}]{h}}=0,\\&kx''\ -f-\alpha \ (x''\ -g){\sqrt[{3}]{h}}=0,\\&kx'''-f-\alpha ^{2}(x'''-g){\sqrt[{3}]{h}}=0,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/915662241fb88aff18f75a53e41cdf7446a3cd7f)
qui étant d’abord ajoutées ensemble donnent, à cause de 
et 
![{\displaystyle mk+3f+\left(x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''\right){\sqrt[{3}]{h}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7a5816ed7612d9e5695a6f3b40a2844df579c5d)
de plus, multipliant la seconde par 
et la troisième par 
et les ajoutant ensuite toutes trois ensemble, on aura
![{\displaystyle k\left(x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''\right)-\left(x'+\alpha ^{2}x''+\alpha x'''\right){\sqrt[{3}]{h}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48a7a86c8d2553be25bc7289b0e8c361e3df78be)
Celle-ci donne
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{h}}={\frac {k\left(x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''\right)}{x'+\alpha x'''+\alpha ^{2}x''}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52e1e04b8bdd2a749745d86ed0f440bd908ac5f0)
