Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/240

et, cette valeur étant substituée dans la première, on aura en divisant par $k$

$m+{\frac {3f}{k}}+{\frac {\left(x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''\right)^{2}}{x'+\alpha x'''+\alpha ^{2}x''}}=0,$

d’où l’on tire

${\frac {f}{k}}=-{\frac {m}{3}}-{\frac {\left(x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''\right)^{2}}{3\left(x'+\alpha x'''+\alpha ^{2}x''\right)}}.$

Il est d’abord facile de voir par cette expression que la quantité ${\frac {f}{k}}$ ne peut avoir que deux valeurs différentes, et que par conséquent elle ne pourra être donnée que par une équation du second degré ; car la fraction

${\frac {\left(x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''\right)^{2}}{x'+\alpha x'''+\alpha ^{2}x''}}$

ne peut que demeurer la même, ou se changer dans la fraction

${\frac {\left(x'+\alpha x'''+\alpha ^{2}x''\right)^{2}}{x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''}},$

en faisant telle permutation que l’on voudra entre les trois racines $x',x'',x'''.$ C’est ce qu’on comprendra encore plus aisément en multipliant le haut et le bas de la première fraction par

$x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x''',$

et le haut et le bas de la seconde par

$x'+\alpha x'''+\alpha ^{2}x''\,;$

car alors elles deviendront (16)

${\frac {\left(x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''\right)^{3}}{m^{2}-3n}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {\left(x'+\alpha x'''+\alpha ^{2}x''\right)^{3}}{m^{2}-3n}},$

c’est-à-dire (7)

${\frac {r^{3}}{m^{2}-3n}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {s^{3}}{m^{2}-3n}},$

ou bien

${\frac {z'}{m^{2}-3n}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {z''}{m^{2}-3n}}.$