![{\displaystyle {\begin{aligned}&+{\frac {m}{2.3}}\left[{\frac {(m+5)(m+4)a^{m+3}c^{3}}{b^{m+6}}}-{\frac {(m+6)(m+5)a^{m+4}.3cd}{b^{m+7}}}+\ldots \right]\\&+{\frac {m}{2.3.4}}\left[{\frac {(m+7)(m+6)(m+5)a^{m+4}c^{4}}{b^{m+8}}}-\ldots \right],\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/482ae916b7e489a84edc391ca5cbd8ce90fc555f)
Si
est égal à
on aura

c’est la formule connue de Newton pour le retour des suites.
15. Considérons maintenant l’équation générale

étant une fonction quelconque de
comparant cette équation avec l’équation

du no 11, ou bien

on aura

donc, si l’on dénote par
une des racines de l’équation proposée, on aura, par la formule (F) du numéro cité,
![{\displaystyle p^{m}=x^{m}+m\left[x^{m-1}\varphi (x)+{\frac {1}{2}}{\frac {dx^{m-1}[\varphi (x)]^{2}}{dx}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}x^{m-1}[\varphi (x)]^{3}}{dx^{2}}}+\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/686d37a417c1be56c1bd74d27de74c1f3c06ffa9)
en faisant, après les différentiations, 