Or, puisque 
il est visible que la formule précédente peut se mettre sous cette forme
![{\displaystyle p^{m}=x^{m}+{\frac {d(x^{m})}{dx}}\varphi (x)+{\frac {1}{2}}{\frac {d{\cfrac {d(x^{m})}{dx}}[\varphi (x)]^{2}}{dx}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}{\cfrac {d(x^{m})}{dx}}[\varphi (x)]^{3}}{dx^{2}}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1ccb1082c0df448183fad4bed1771eba06513a9)
D’où il est facile de conclure qu’une fonction quelconque de 
comme 
sera exprimée de la manière suivante
![{\displaystyle \psi (p)=\psi (x)+{\frac {d\psi (x)}{dx}}\varphi (x)+{\frac {1}{2}}{\frac {d{\cfrac {d\psi (x)}{dx}}[\varphi (x)]^{2}}{dx}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}{\cfrac {d\psi (x)}{dx}}[\varphi (x)]^{3}}{dx^{2}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a9df6c174b6e32747132b5070068d1ea6dacaab)
pourvu qu’on change, comme nous l’avons dit, 
en 
après avoir exécuté les différentiations indiquées, ce qui fournit le théorème suivant, qui est très-remarquable par sa simplicité et par sa généralité.
16. Théorème. — Soit l’équation
| (H)
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étant une fonction quelconque de 
Que 
soit une des racines de cette équation, c’est-à-dire une des valeurs de 
et qu’on demande la valeur d’une fonction quelconque de comme 
Qu’on dénote, pour plus de simplicité, la quantité 
par 
et je dis qu’on aura, en général,
| (I)
|
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\psi (p)=&\psi (x)+\varphi (x)\psi '(x)+{\frac {1}{2}}{\frac {d[\varphi (x)]^{2}\psi '(x)}{dx}}\\&+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}[\varphi (x)]^{3}\psi '(x)}{dx^{2}}}+{\frac {1}{2.3.4}}{\frac {d^{3}[\varphi (x)]^{4}\psi '(x)}{dx^{3}}}+\ldots ,\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfde12b4e014a75a8ddf102d6a114a54b1ad72c7)
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où il faudra changer en après les différentiations.
17. Si l’on fait 
en sorte que l’équation (H) devienne
