Or, puisque
il est visible que la formule précédente peut se mettre sous cette forme
![{\displaystyle p^{m}=x^{m}+{\frac {d(x^{m})}{dx}}\varphi (x)+{\frac {1}{2}}{\frac {d{\cfrac {d(x^{m})}{dx}}[\varphi (x)]^{2}}{dx}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}{\cfrac {d(x^{m})}{dx}}[\varphi (x)]^{3}}{dx^{2}}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1ccb1082c0df448183fad4bed1771eba06513a9)
D’où il est facile de conclure qu’une fonction quelconque de
comme
sera exprimée de la manière suivante
![{\displaystyle \psi (p)=\psi (x)+{\frac {d\psi (x)}{dx}}\varphi (x)+{\frac {1}{2}}{\frac {d{\cfrac {d\psi (x)}{dx}}[\varphi (x)]^{2}}{dx}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}{\cfrac {d\psi (x)}{dx}}[\varphi (x)]^{3}}{dx^{2}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a9df6c174b6e32747132b5070068d1ea6dacaab)
pourvu qu’on change, comme nous l’avons dit,
en
après avoir exécuté les différentiations indiquées, ce qui fournit le théorème suivant, qui est très-remarquable par sa simplicité et par sa généralité.
16. Théorème. — Soit l’équation
(H)
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étant une fonction quelconque de
Que
soit une des racines de cette équation, c’est-à-dire une des valeurs de
et qu’on demande la valeur d’une fonction quelconque de
comme
Qu’on dénote, pour plus de simplicité, la quantité
par
et je dis qu’on aura, en général,
(I)
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où il faudra changer
en
après les différentiations.
17. Si l’on fait
en sorte que l’équation (H) devienne
