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de $x^{2}+y,$ mais celui de $x^{2}+{\frac {mx}{2}}+y\,;$ en effet, en faisant passer comme ci-devant les trois derniers termes dans le second membre et ajoutant de part et d’autre la quantité

$\left(2y+{\frac {m^{2}}{4}}\right)x^{2}+myx+y^{2},$

on aura l’équation

$\left(x^{2}+{\frac {mx}{2}}+y\right)^{2}=\left(2y+{\frac {m^{2}}{4}}-n\right)x^{2}(my-p)x+y^{2}-q.$

On fera donc, pour rendre aussi le second membre carré,

$\left({\frac {my-p}{2}}\right)^{2}=\left(2y+{\frac {m^{2}}{4}}-n\right)\left(y^{2}-q\right),$

d’où l’on tire l’équation cubique

$y^{3}-{\frac {n}{2}}y^{2}+{\frac {mp-4q}{4}}y+{\frac {\left(4n-m^{2}\right)q-p^{2}}{8}}=0.$

La valeur de $y$ étant déterminée par cette équation, que nous appellerons dorénavant la réduite, si l’on fait, pour plus de simplicité,

$z={\sqrt {2y+{\frac {m^{2}}{4}}-n}}$

on aura

$\left(x^{2}+{\frac {mx}{2}}+y\right)^{2}=z^{2}\left(x+{\frac {my-p}{2z^{2}}}\right)^{2},$

et, tirant la racine carrée des deux membres,

$x^{2}+{\frac {mx}{2}}+y=zx+{\frac {my-p}{2z}},$

ou bien

$x^{2}+\left({\frac {m}{2}}-z\right)x+y-{\frac {my-p}{2z}}=0,$

d’où enfin

$x={\frac {1}{2}}\left[z-{\frac {m}{2}}+{\sqrt {z^{2}-mz+{\frac {m^{2}}{4}}-4y+{\frac {2(my-p)}{z}}}}\right],$