d’où l’on tire
[1].
Donc, si l’on dénote par
les valeurs des radicaux
prises positivement, en sorte que l’on ait
![{\displaystyle {\sqrt {t'}}=\pm \theta ',\quad {\sqrt {t''}}=\pm \theta '',\quad {\sqrt {t'''}}=\pm \theta ''',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03b13293e3f13de62d74368cf7b213d5c9759608)
il faudra, lorsque
est une quantité positive, prendre, ou
![{\displaystyle {\sqrt {t'}}\ \ =\theta '\ \ \quad {\text{et}}\quad {\sqrt {t''}}=\pm \theta '',\quad {\sqrt {t'''}}=\pm \theta ''',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33cbe673697f8d5a58cef7a7349c2329e22e4942)
ou
![{\displaystyle {\sqrt {t''}}\ =\theta ''\ \quad {\text{et}}\quad {\sqrt {t'}}\ =\pm \theta '\ ,\quad {\sqrt {t'''}}=\pm \theta ''',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec1e3b13a1cdbefac54f006f6c2b41623f557d4d)
ou
![{\displaystyle {\sqrt {t'''}}=\theta '''\quad {\text{et}}\quad {\sqrt {t'}}\ =\pm \theta '\ ,\quad {\sqrt {t''}}\ =\pm \theta '',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e97cdb91f65d32f2959a486a16f9496907c43fc)
les signes ambigus devant être les mêmes pour les quantités
ou
ou
et l’on aura dans ce cas pour les quatre racines de la proposée les valeurs suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {-m+\theta '+\theta ''+\theta '''}{4}},\\&{\frac {-m+\theta '-\theta ''-\theta '''}{4}},\\&{\frac {-m-\theta '+\theta ''-\theta '''}{4}},\\&{\frac {-m-\theta '-\theta ''+\theta '''}{4}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40256540596dcf5a8cf350654790c44bf0d2a71d)
- ↑ Cette formule a été obtenue en extrayant la racine carrée des deux membres de la précédente, et celle-ci indique seulement que le produit des radicaux
est égal à
Lagrange remplace le signe ambigu
par
mais c’est le signe
qu’il fallait prendre ; en effet, les radicaux
représentent les valeurs des quantités
![{\displaystyle a+b-c-d,\quad a+c-b-d,\quad a+d-b-c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecadb7b2b48290da0c19d9c333ee1a538a2d87b9)
qui ont pour produit la fonction symétrique
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(a+b+c+d)^{3}-4(a+b+c+d)(ab+ac+ad+bc+bd+cd)\\&\qquad +8(abc+abd+acd+bcd),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0a5b5dc3a491490ae3b369d17c52f127e1ed90f)
dont la valeur est
On a donc
![{\displaystyle {\sqrt {t'}}{\sqrt {t''}}{\sqrt {t'''}}=-m^{3}+4mn-8p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07a14e1fc5295960e9db40414e7b289651e6ee1c)
quels que soient les coefficients
réels ou imaginaires. Cette relation détermine complètement dans tous les cas l’un des radicaux
quand les valeurs des deux autres ont été fixées.
(Note de l’Éditeur.)