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et déterminant ensuite les coefficient $f,g,h,k$ par la comparaison des termes homologues ; c’est ce qu’a fait Descartes, et ce qui a donné naissance à la méthode des indéterminéesdont il est regardé comme l’auteur. Multipliant donc les deux équations précédentes l’une par l’autre, on aura celle-ci

$x^{4}+(f+h)x^{3}+(fh+g+k)x^{2}+(fk+gh)x+gk=0,$

laquelle étant comparée terme à terme avec la proposée

$x^{4}+mx^{3}+nx^{2}+px+q=0$

donnera les quatre équations

$f+h=m,\quad fh+g+k=n,\quad fk+gh=p,\quad gk=q,$

lesquelles serviront à déterminer les quatre inconnue $f,g,h,k.$

34. Supposons d’abord, avec Descartes, que le second terme de la proposée soit évanoui, c’est-à-dire que l’on ait $m=0\,;$ on aura donc $f+h=0$ et par conséquent $h=-f,$ de sorte que dans ce cas la proposée ne pourra venir que de la multiplication de deux équations telles que

$x^{2}+fx+g=0,\quad x^{2}-fx+k=0,$

et l’on aura alors pour la détermination des trois coefficients $f,g,k$ les équations

$g+k-f^{2}=n,\quad (k-g)f=p,\quad gk=q\,;$

les deux premières donnent

$g={\frac {n+f^{2}-{\dfrac {p}{f}}}{2}},\quad k={\frac {n+f^{2}+{\dfrac {p}{f}}}{2}}\,;$

et, ces valeurs étant substituées dans la dernière, on aura

$\left(n+f^{2}\right)^{2}-{\dfrac {p^{2}}{f^{2}}}=4q,$