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par le trinôme

$x^{2}+fx+g,$

on trouvera le quotient

$x^{2}+(m-f)x+n-g-f(m-f),$

et le reste

$\left[p-g(m-f)-f\left[n-g-f(m-f)\right]\right]x+q-g\left[n-g-f(m-f)\right],$

de sorte que, pour que la division puisse se faire exactement, il faudra que le reste soit nul indépendamment de $x,$ ce qui donnera ces deux équations

${\begin{aligned}&p-g(m-f)-f\left[n-g-f(m-f)\right]=0,\\&q-g\left[n-g-f(m-f)\right]=0,\end{aligned}}$

au moyen desquelles on pourra déterminer $f$ et $g.$ La première de ces équations donnera d’abord

$g={\frac {p-nf+mf^{2}-f^{3}}{m-2f}},$

et, cette valeur étant substituée dans la seconde, on aura

$q-\left(n-mf+f^{2}\right){\frac {p-nf+mf^{2}-f^{3}}{m-2f}}+{\frac {\left(p-nf+mf^{2}-f^{3}\right)^{2}}{(m-2f)^{2}}}=0,$

ou bien

$\left(f^{3}-mf^{2}+nf-p\right)^{2}-\left(f^{3}-mf^{2}+nf-p\right)\left(f^{2}-mf+n\right)(2f-m)$

$+q(2f-m)^{2}=0,$

qui, étant ordonnée par rapport à $f,$ sera en changeant les signes

$f^{6}-3mf^{5}+\left(3m^{2}+2n\right)f^{4}-m\left(m^{2}+4n\right)f^{3}+\left(2m^{2}n+mp+n^{2}-4q\right)f^{2}$

$-m\left(mp+n^{2}-4q\right)f+mnp-m^{2}q-p^{2}=0,$

la même que celle qu’on tirerait des quatre équations de condition du n^o 33.

Cette équation est, comme on voit, du sixième degré, ayant tous ses termes ; mais en faisant $m=0$ tous les termes qui renferment des puissances impaires de l’inconnue s’évanouissent, de sorte que l’équation devient résoluble à la manière de celles du troisième degré ; c’est le cas