Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/277

équation en $f,$ il faudrait, suivant la règle connue, augmenter toutes les racines de ${\frac {\mathrm {A} }{6}},$ c’est-à-dire mettre, à la place de $f,$ $l-{\frac {\mathrm {A} }{6}},$ ce qui donnerait une transformée en $l$ où

$l=f+{\frac {\mathrm {A} }{6}}=f+{\frac {a+b+c+d}{2}},$

puisque

$\mathrm {A} =3(a+b+c+d),$

de sorte que les racines de cette transformée seraient

${\begin{aligned}&{\frac {a+b+c+d}{2}}-a-b,\\&{\frac {a+b+c+d}{2}}-a-c,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

c’est-à-dire

${\begin{aligned}&{\frac {a+b-c-d}{2}},\\&{\frac {a+c-b-d}{2}},\\&{\frac {a+d-b-c}{2}},\\&{\frac {b+c-a-d}{2}},\\&{\frac {b+d-a-c}{2}},\\&{\frac {c+d-a-b}{2}},\end{aligned}}$

où l’on voit que chaque racine a sa compagne négative ; en sorte que, si l’on en prend les carrés et qu’on regarde $l^{2}$ comme l’inconnue, elle ne pourra avoir que trois valeurs différentes, savoir

${\begin{aligned}&\left({\frac {a+b-c-d}{2}}\right)^{2},\\&\left({\frac {a+c-b-d}{2}}\right)^{2},\\&\left({\frac {a+d-b-c}{2}}\right)^{2},\end{aligned}}$