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et chassant ensuite $g,$ on aura

$f=-{\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}}{a+b-c-d}}.$

Or, pour avoir toutes les valeurs de $f$ il n’y aura qu’à faire entre les quatre racines $a,b,c,d$ toutes les permutations possibles, et l’on n’obtiendra que ces trois valeurs différentes

${\begin{aligned}&{\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}}{a+b-c-d}},\\&{\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}}{a+c-b-d}},\\&{\frac {a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{a+d-b-c}},\end{aligned}}$

qui seront les racines de la réduite en $y,$ laquelle ne pourra être par conséquent que du troisième degré. On pourrait même remonter de là à l’équation en $y,$ comme nous l’avons déjà pratiqué plusieurs fois ; et l’on trouverait la même équation qu’on a vue ci-dessus.

Au reste, pour pouvoir mieux comparer la réduite en $f$ dont nous parlons, avec celles que nous avons trouvées plus haut d’après les solutions de Ferrari et de Descartes, on remarquera que

$a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}={\frac {(a+b)^{2}-(c+d)^{2}+(a-b)^{2}-(c-d)^{2}}{2}}\,;$

or

${\begin{aligned}(a+b)^{2}-(c+d)^{2}=&(a+b+c+d)(a+b-c-d)\\=&-m(a+b-c-d),\end{aligned}}$

et

$(a-b)^{2}-(c-d)^{2}=(a+c-b-d)(a+d-b-c)\,;$

mais on trouve par le calcul

$(a+b-c-d)(a+c-b-d)(a+d-b-c)=-m^{3}+4mn-8p,$

donc on aura

$a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}={\frac {1}{2}}\left[-m(a+b-c-d)-{\frac {m^{3}+4mn-8p}{a+b-c-d}}\right]\,;$