c’est-à-dire
![{\displaystyle t=\mathrm {\frac {2(MP+NQ)}{P^{2}+Q^{2}}} \quad {\text{et}}\quad u=\mathrm {\frac {M^{2}+N^{2}}{P^{2}+Q^{2}}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/779dd714baba58e2faac3b6dfafc35904ef3438a)
Or je dis que les quantités
et
ne peuvent dépendre que d’équations du troisième degré telles que
![{\displaystyle {\begin{aligned}t^{3}\,-\mathrm {E} t^{2}\ +\mathrm {F} t\ -\mathrm {G} =&0,\\u^{3}-\mathrm {H} u^{2}+\mathrm {K} u-\mathrm {L} =&0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf6f2dd3b9136ba0836c626fd0af3896d3617cbb)
les coefficients
étant des fonctions rationnelles des coefficients
de la proposée. De sorte que, nommant
les trois racines de la première équation, et
les racines correspondantes de la seconde, on aura ces trois équations en ![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f^{2}+t'f\ \ +u'\ \ =&0,\\f^{2}+t''f\ +u''\ =&0,\\f^{2}+t'''f+u'''=&0,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/676c7e374a155746cb6453016c1e775c097448e3)
dans lesquelles pourra se décomposer l’équation du sixième degré en
dont nous venons de parler.
Pour démontrer cette proposition, il n’y a qu’à chercher de combien de valeurs différentes sont susceptibles les quantités
et
c’est-à-dire les fonctions
![{\displaystyle \mathrm {\frac {MP+NQ}{P^{2}+Q^{2}}} \quad {\text{et}}\quad \mathrm {\frac {M^{2}+N^{2}}{P^{2}+Q^{2}}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85163b3024851963445d5af5250e1963c531d03a)
des racines
de la proposée, en supposant que l’on fasse entre ces racines toutes les permutations possibles ; car il est clair que les valeurs qui en résulteront seront les racines des équations en
et en
Pour cela je remarque d’abord que le nombre total des permutations des quatre quantités
doit être, suivant les règles-connues,
de sorte que, généralement parlant, les équations en
et en
devraient monter au vingt-quatrième degré. Mais il arrive ici que parmi les permutations dont il s’agit il y en a plusieurs qui redonnent les mêmes valeurs de
et
et qui, par conséquent, doivent être rejetées.
En effet :