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1^o Lorsqu’on échange $a$ en $b,$ il est visible que les quantités $\mathrm {N}$ et $\mathrm {Q}$ demeurent les mêmes, et que les quantités $\mathrm {M}$ et $\mathrm {P}$ changent simplement de signes, de sorte que les quantités $t$ et $u$ doivent demeurer les mêmes ; d’où il est facile de conclure que parmi les vingt-quatre valeurs de $t$ et de $u,$ répondant aux vingt-quatre permutations des lettres $a,b,c,d,$ il doit y en avoir douze égales à douze autres, ce qui réduit déjà le nombre des valeurs utiles de $t$ et $u$ à la moitié.

2^o Lorsqu’on échange $c$ en $d,$ les quantités $\mathrm {M}$ et $\mathrm {P}$ demeurent les mêmes, et les quantités $\mathrm {N}$ et $\mathrm {Q}$ changent simplement de signe, ce qui ne produit aucun changement dans les valeurs de $t$ et $u\,;$ donc, comme ces permutations sont indépendantes des précédentes, il s’ensuit, par une raison semblable, que les douze valeurs de $t$ et $u$ se réduiront à six.

3^o Enfin, si l’on échange $a$ en $c$ et $b$ en $d$ à la fois, on verra aisément que les quantités $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ se changeront l’une dans l’autre en changeant de signe, et qu’il en sera de même des quantités $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} \,;$ mais il est clair que ces changements ne feront point varier les quantités $t$ et $u.$ Ainsi, comme ces nouvelles permutations sont aussi indépendantes des précédentes, on en conclura que les six valeurs de $t$ et $u$ se réduiront à trois, en sorte que, parmi les vingt-quatre valeurs de $t$ et $u,$ il ne s’en trouvera effectivement que trois différentes entre elles, dont chacune sera répétée huit fois.

Il y a encore, à la vérité, un échange qui ne produit aucune variation dans les quantités $t$ et $u\,:$ c’est celui de $a$ en $d$ et $b$ en $c$ à la fois ; maisil ne doit pas entrer en ligne de compte, parce qu’il est déjà renfermé dans les précédents.

De là on peut conclure que les équations en $t$ et $u$ du vingt-quatrième degré ne pourront renfermer que trois racines différentes, dont chacune en aura sept autres d’égales, de sorte que ces équations ne seront autre chose que des équations du troisième degré élevées à la huitième puissance.

44. Nous venons donc de voir à priori que les valeurs différentes de $t$ ne peuvent être qu’au nombre de trois, ainsi que celles de $u\,;$ or il est