facile de trouver que ces valeurs seront, pour la quantité
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {2(MP+NQ)}{P^{2}+Q^{2}}},\quad {\frac {2(M'P'+N'Q')}{P'^{2}+Q'^{2}}},\quad {\frac {2(M''P''+N''Q'')}{P''^{2}+Q''^{2}}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04e00666f51690cac437f971d17be7a7f1c9c1f0)
et pour la quantité ![{\displaystyle u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30dcc93e14b40416ed2d1391bc6c08ee99fa5ff6)
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {M^{2}+N^{2}}{P^{2}+Q^{2}}},\quad {\frac {M'^{2}+N'^{2}}{P'^{2}+Q'^{2}}},\quad {\frac {M''^{2}+N''^{2}}{P''^{2}+Q''^{2}}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba3cf9f4c4cbf54068f6673bf8d48c71b8101f4a)
de sorte qu’on aura (43)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&&t'=&\mathrm {\frac {2(MP+NQ)}{P^{2}+Q^{2}}} ,\ \ &t''=&\mathrm {\frac {2(M'P'+N'Q')}{P'^{2}+Q'^{2}}} ,\ \ &t'''=&\mathrm {\frac {2(M''P''+N''Q'')}{P''^{2}+Q''^{2}}} ,\\\mathrm {et} \\&&u'=&\mathrm {\frac {M^{2}+N^{2}}{P^{2}+Q^{2}}} ,&u''=&\mathrm {\frac {M'^{2}+N'^{2}}{P'^{2}+Q'^{2}}} ,&u'''=&\quad \mathrm {\frac {M''^{2}+N''^{2}}{P''^{2}+Q''^{2}}} .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c89713f6105465f25b1ac17c3cedea78d1b0bbde)
Effectivement, si l’on met ces valeurs dans les coefficients
des équations en
et en
lesquels doivent être, comme on sait, exprimés ainsi
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathrm {E} =&t'\ +t''\,+t''',\qquad &\mathrm {F} =&t't''\,\ +t't'''\,\ +t''t''',\qquad &\mathrm {G} =&t't''t''',\\\mathrm {H} =&u'+u''+u''',&\mathrm {K} =&u'u''+u'u'''+u''u''',&\mathrm {L} =&u'u''u''',\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13e1bf33b6f0fab912c4e96287d97a1d18468088)
on aura des fonctions de
qui demeureront les mêmes, quelque permutation qu’on fasse entre les quantités
et qui pourront par conséquent s’exprimer par des fonctions rationnelles des coefficients
de la proposée dont les quantités
sont les racines. De sorte qu’on pourra par ce moyen trouver directement les valeurs des coefficients dont il s’agit, comme nous l’avons déjà pratiqué plusieurs fois dans le cours de ces recherches.
Au reste, dès qu’on connaîtra les trois racines
de l’équation en
on pourra par leur moyen trouver les racines correspondantes
de l’équation en
sans être obligé de résoudre aucune équation. Car si l’on prend ces trois expressions
![{\displaystyle {\begin{aligned}&u'+u''+u''',\\&t'u'+t''u''+t'''u''',\\&t'^{2}u'+t''^{2}u''+t'''^{2}u''',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/849c10190cec566e1bcf0f77294bfd9b9d6f40be)