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$\mathrm {M} x^{2}+\mathrm {N} 'x+\mathrm {P} ',$ et l’on aura ce nouveau reste

$\left(g-{\frac {\mathrm {P'+N'} f}{\mathrm {M} }}+\mathrm {\frac {N'^{2}}{M^{2}}} \right)x+h'-{\frac {\mathrm {P} 'f}{\mathrm {M} }}+\mathrm {\frac {N'P'}{M^{2}}} =0,$

qui, ne renfermant que la première puissance de $x,$ devra par conséquent être le diviseur commun cherché. Faisant donc ce diviseur égal à zéro, on en tirera

$x=-{\frac {\mathrm {M} ^{2}h'-\mathrm {MP'} f+\mathrm {N'P'} }{\mathrm {M} ^{2}g-\mathrm {M} (\mathrm {P'+N'} f)+\mathrm {N} '^{2}}},$

valeur qui, étant substituée dans l’équation

$\mathrm {M} x^{2}+\mathrm {N} 'x+\mathrm {P} '=0,$

donnera les conditions cherchées.

Faisons maintenant

${\begin{aligned}\mathrm {N} =&p-h-g(m-f),\\\mathrm {P} =&q-h(m-f),\end{aligned}}$

et, à cause de $h'=h+y,$ on aura

${\begin{aligned}\mathrm {N} '=&\mathrm {N} -y,\\\mathrm {P} '=&\mathrm {P} -(m-f)y\,;\end{aligned}}$

donc, substituant ces valeurs dans l’expression de $x,$ et supposant de plus

${\begin{aligned}\mathrm {Q} =&\mathrm {M} ^{2}h-\mathrm {MP} f+\mathrm {NP} ,\\\mathrm {R} =&\mathrm {M} ^{2}+(\mathrm {M} f-\mathrm {N} )f-\mathrm {P} ,\\\mathrm {S} =&\mathrm {M} ^{2}g-\mathrm {M} (\mathrm {P+N} f)+\mathrm {N} ^{2},\\\mathrm {T} =&\mathrm {M} m-2\mathrm {N} ,\end{aligned}}$

on aura

$x=-{\frac {\mathrm {Q+R} y+(m-f)y^{2}}{\mathrm {S+T} y+y^{2}}},$

et l’équation de condition sera

$\mathrm {M} \left[\mathrm {Q+R} y+(m-f)y^{2}\right]^{2}+(y-\mathrm {N} )\left[\mathrm {Q+R} y+(m-f)y^{2}\right]\left(\mathrm {S+T} y+y^{2}\right)$

$+\left[\mathrm {P} -(m-f)y\right]\left(\mathrm {S+T} y+y^{2}\right)=0,$