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laquelle, étant développée et ordonnée par rapport aux puissances de $y$, se trouvera, après les réductions, de la forme

$y^{4}+\mathrm {A} y^{3}+\mathrm {B} y^{2}+\mathrm {C} y+\mathrm {D} =0,$

comme nous l’avons déjà montré plus haut.

Dans cette équation en $y$ les coefficients $\mathrm {A,B,C,D}$ seront des fonctions rationnelles et entières des trois indéterminées $f,g,h,$ et les dimensions de ces indéterminées ne passeront pas le premier degré dans le coefficient $\mathrm {A} ,$ le second degré dans le coefficient $\mathrm {B} ,$ et ainsi de suite, conformément à ce qu’on a déjà prouvé à priori. Ainsi, pour réduire l’équation précédente à deux termes, on fera

$\mathrm {A=0,\quad B=0,\quad C} =0,$

équations d’où l’on tirera d’abord les valeurs de $g$ et $h$ en $f$ et ensuite une équation finale en $f$ qui sera du sixième degré, mais qui sera réductible au troisième, comme on l’a démontré ci-dessus ; car, en divisant cette équation par une équation du second degré telle que

$f^{2}+tf+u=0,$

on trouvera, pour que la division puisse se faire exactement, deux équations de condition entre $t$ et $u,$ à l’aide desquelles on pourra d’abord déterminer $u$ en $t,$ et ensuite on aura une équation finale en $t$ qui ne sera que du troisième degré. Résolvant donc cette équation du troisième degré, on connaîtra $t$ et de là $u\,;$ après quoi on aura $f$ par la résolution de l’équation ci-dessus du second degré, et de là $g$ et $h$ par des équations linéaires. Ainsi l’on connaîtra la valeur de tous les coefficients $\mathrm {D,Q,R,S,T} .$

Or l’équation en $y,$ étant réduite à celle-ci

$y^{4}+\mathrm {D} =0$

par l’évanouissement des termes intermédiaires, donnera les quatre valeurs de $y$

$\pm {\sqrt[{4}]{-\mathrm {D} }}\quad {\text{et}}\quad \pm {\sqrt[{4}]{-\mathrm {D} }}{\sqrt {-1}},$

et lesquelles, étant substituées successivement dans l’expression de $x$ ci-