dessus, donneront les quatre racines de la proposée. Au reste, comme ce calcul conduit à des formules assez compliquées, nous nous contentons de l’indiquer, et nous allons plutôt chercher des moyens de le simplifier.
46. Puisque la racine
est de la forme
![{\displaystyle x=-{\frac {\mathrm {Q+R} y+(m-f)y^{2}}{\mathrm {S+T} y+y^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfa03a320ccebfaeb8a03a3417b329cced873b94)
la quantité
devant être déterminée par l’équation deux termes
![{\displaystyle y^{4}+\mathrm {D} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7296cdaaea7263ff9ce1ee0f17ba9e66b50a4e5e)
il est facile de voir qu’on peut réduire l’expression de
à cette forme plus simple
![{\displaystyle x=a+by+cy^{2}+dy^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6214f30acd1ad39ff623e3191ab39bf6e12942e1)
étant des coefficients dépendants de
Car si l’on multiplie d’abord le haut et le bas de la fraction
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {Q+R} y+(m-f)y^{2}}{\mathrm {S+T} y+y^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1595b0305149633adf6f4f43decfdeb8163ea510)
par
le dénominateur de la nouvelle fraction deviendra
![{\displaystyle \left(\mathrm {S} +y^{2}\right)^{2}-\mathrm {T} ^{2}y^{2},\quad {\text{c’est-à-dire}}\quad \mathrm {S^{2}+\left(2S-T^{2}\right)} y^{2}+y^{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03edf3accaef3276f97f780cfcd8a3384d9c199d)
et, en mettant
à la place de ![{\displaystyle y^{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f13e7e25d349fcaafeaa572b07f724d02a24c4ad)
![{\displaystyle \mathrm {S^{2}-D+\left(2S-T^{2}\right)} y^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea920d605aa02d9faf152eda76ad45f3a8bc499a)
donc, multipliant encore tant le numérateur que le dénominateur par
le nouveau dénominateur sera
![{\displaystyle \mathrm {\left(S^{2}-D\right)^{2}-\left(2S-T^{2}\right)^{2}} y^{4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6568e8501c337cff9816289b54dd4cc68cfc1b29)
ou bien, à cause de ![{\displaystyle y^{4}=-\mathrm {D} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d869d4616550970b9acf6814c1e1b4a8bc34a505)
![{\displaystyle \mathrm {\left(S^{2}-D\right)^{2}+D\left(2S-T^{2}\right)^{2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e0a7fc1ce31cbb29cefdf694ab76fd1d7e69b68)