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de sorte que, par la comparaison des termes analogues, on pourra déterminer quatre des cinq coefficient $f,g,h,k$ et $\mathrm {D} ,$ le cinquième demeurant à volonté.

Cette méthode revient à la même que celle que M. Bezout a donnée à la fin de son Mémoire de 1762 sur les équations, et qu’il a redonnée dans le Mémoire de 1765, page 548, comme un exemple d’une méthode générale qui s’étend à toutes les équations dont le degré est marqué par un nombre composé. Dans le premier de ces endroits l’Auteur suppose d’abord $g=-1,$ et il trouve une équation finale en $k$ du troisième degré. Dans le second il fait $\mathrm {D} =-1,$ et il parvient à une équation finale en $g$ du sixième degré avec des exposants pairs, et par conséquent résoluble à la manière des équations du troisième degré.

Pour voir la raison de ces résultats, il n’y a qu’à remarquer que, puisque $z=\pm {\sqrt {-\mathrm {D} }},$ on aura ces deux équations

${\begin{aligned}x^{2}+(f+g{\sqrt {-\mathrm {D} }}x+h+k{\sqrt {-\mathrm {D} }}=&0,\\x^{2}+(f-g{\sqrt {-\mathrm {D} }}x+h-k{\sqrt {-\mathrm {D} }}=&0,\end{aligned}}$

dont le produit doit donner l’équation proposée ; de sorte qu’il faudra que l’une de ces équations renferme deux des racines de la proposée, et que l’autre en renferme les deux autres. Ainsi l’on aura, par la nature des équations,

${\begin{alignedat}{2}-f-g{\sqrt {-\mathrm {D} }}=&x'+x'',\qquad &h+k{\sqrt {-\mathrm {D} }}=&x'x'',\\-f+g{\sqrt {-\mathrm {D} }}=&x'''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},&h-k{\sqrt {-\mathrm {D} }}=&x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\,;\end{alignedat}}$

donc

${\begin{aligned}-2g{\sqrt {-\mathrm {D} }}=&x'+x''-x'''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\\2k{\sqrt {-\mathrm {D} }}=&x'x''-x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}.\end{aligned}}$

Si l’on fait d’abord $g=-1,$ et qu’on substitue la valeur de ${\sqrt {-\mathrm {D} }}$ tirée de la première équation dans la seconde, on aura

$k={\frac {x'x''-x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{x'+x''-x'''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}\,:$

et de là on peut conclure que l’équation en $k$ ne sera que du troisième