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que $a,b,c,d$ dans le numéro cité, c’est-à-dire les racines de la proposée), on aura

u^{2}-4k^{2}=4x'x''x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=4q\,;

donc

u=2{\sqrt {q+k^{2}}}.

Ainsi, si dans l’équation en $u$ on substitue cette valeur, et qu’on fasse ensuite disparaître l’irrationnalité, on aura une équation en $k$ du sixième degré, dont tous les exposants seront multiples de $2.$

50. Nous terminerons ici notre analyse des méthodes qui concernent la résolution des équations du quatrième degré. Non-seulement nous avons rapproché ces méthodes les unes des autres, et montré leur liaison et leur dépendance mutuelle ; nous avons encore, ce qui était le point principal, donné la raison à priori pourquoi elles conduisent, les unes à des réduites du troisième degré, les autres à des réduites du sixième, mais qui peuvent s’abaisser au troisième ; et l’on a dû voir que cela vient en général de ce que les racines de ces réduites sont des fonctions des quantités $x',x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ telles, qu’en faisant toutes les permutations possibles entre ces quatre quantités, elles ne peuvent recevoir que trois valeurs différentes comme la fonction $x'x''+x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ ou six valeurs, mais deux à deux égales et de signes contraires, comme la fonction $x'+x''-x'''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ ou bien six valeurs telles, qu’en les partageant en trois couples et prenant la somme ou le produit des valeurs de chaque couple, ces trois sommes ou ces trois produits soient toujours les mêmes, quelque permutation qu’on fasse entre les quantités $x',x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ comme la fonction trouvée au n^o 42. C’est uniquement de l’existence de telles fonctions que dépend la résolution générale des équations du quatrième degré^[1].

↑ La longueur déjà trop grande de ce Mémoire nous oblige d’en réserver la suite pour le volume de 1771, auquel il appartient naturellement. On y trouvera une Analyse générale des méthodes de MM. Tschirnaus, Euler et Bezout, faite par des principes analogues à ceux que nous avons suivis jusqu’ici, et d’après laquelle on sera en état de connaitre à priori les résultats qu’on doit attendre de l’application de ces méthodes aux équations qui passent le quatrième degré. Oa y trouvera aussi des remarques générales sur la résolution et la réduction des équations, lesquelles serviront à jeter un nouveau jour sur cette partie de l’Algèbre.

[1] La longueur déjà trop grande de ce Mémoire nous oblige d’en réserver la suite pour le volume de 1771, auquel il appartient naturellement. On y trouvera une Analyse générale des méthodes de MM. Tschirnaus, Euler et Bezout, faite par des principes analogues à ceux que nous avons suivis jusqu’ici, et d’après laquelle on sera en état de connaitre à priori les résultats qu’on doit attendre de l’application de ces méthodes aux équations qui passent le quatrième degré. Oa y trouvera aussi des remarques générales sur la résolution et la réduction des équations, lesquelles serviront à jeter un nouveau jour sur cette partie de l’Algèbre.

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