Le Problème de la résolution des équations des degrés supérieurs au quatrième est un de ceux dont on n’a pas encore pu venir à bout, quoique d’ailleurs rien n’en démontre l’impossibilité. Je ne connais jusqu’à présent que deux méthodes qui paraissent donner quelque espérance de succès. Ce sont, l’une celle de M. Tschirnaus, publiée dans les Actes de Leipsic de 1683, et l’autre celle que MM. Euler et Bezout ont proposée presque en même temps, le premier dans les Nouveaux Commentaires de Pétersbourg, tome IX, et le second dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris pour l’année 1765. Ces méthodes ont l’avantage de donner la résolution des équations du troisième et du quatrième degré d’une manière générale et uniforme, comme on l’a vu dans les Sections précédentes, avantage qui leur est particulier, et qui peut par conséquentêtre un préjugé pour leur succès dans les degrés plus élevés ; mais les calculs qu’elles demandent dans les équations du cinquième degré et des degrés ultérieurs sont si longs et si compliqués, que le plus intrépide calculateur peut en être rebuté. En effet, pour appliquer, par exemple, la méthode de M. Tschirnaus au cinquième degré, il faudra résoudre quatre équations qui renferment quatre inconnues, et dont la première est du premier degré, la seconde du second, et ainsi de suite ; de sorte que l’équation finale résultante de l’élimination de trois de ces inconnues doit monter, en général, au degré dont l’exposant sera c’est-à-dire au vingt-quatrième degré. Or, indépendammentdu travail immense qui sera nécessaire pour parvenir à cette équation, il est clair que quand on l’aura trouvée on n’en sera guère plus avancé, à moins qu’on ne puisse la réduire à un degré moindre que le cinquième, réduction qui, si elle est possible, ne pourra être que le fruit d’un nouveau travail plus considérable que le premier.
Suivant la méthode de M. Euler, on parviendra aussi nécessairement à
