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une réduite du vingt-quatrième degré ; car quoique cette méthode paraisse promettre une réduite du quatrième degré seulement, par la raison qu’elle ne donne pour le troisième degré qu’une réduite du second, et pour le quatrième degré qu’une réduite du troisième ; cependant M. Bezout remarque avec raison que c’est une simplification accidentelle qui, dans le quatrième degré, rabaisse la réduite de M. Euler au troisième degré, laquelle doit être, en général, du degré $2.3,$ c’est-à-dire du sixième, et que cette simplification n’a lieu que parce que l’exposant $4$ est un nombre composé. Nous en avons donné la raison à priori dans la Section précédente, et nous y avons aussi fait voir que M. Euler serait nécessairement tombé dans une réduite du sixième degré s’il avait cherché à déterminer par l’élimination une des deux autres inconnues qui entrent dans ses formules. Ainsi l’on n’a d’avance aucun fondement d’attendre, pour le cinquième degré, une réduite d’un degré moindre que le vingt-quatrième, par la méthode de M. Euler ; et si cette équation est susceptible de quelque réduction, ce ne sera qu’à l’aide d’un grand nombre de tentatives et de calculs très-laborieux qu’on pourra s’en assurer.

Ces inconvénients doivent avoir lieu de même dans la méthode de M. Bezout, qui ne diffère point de celle de M. Euler, si ce n’est qu’elle donne des réduites plus élevées en apparence, les exposants y étant tous des multiples de l’exposant du degré de l’équation proposée. Ainsi, dans le cinquième degré, on a, d’après la méthode de M. Bezout, une réduite du cent vingtième degré avec des exposants multiples de $5\,;$ de sorte qu’elle équivaut à une équation du vingt-quatrième degré.

Ce savant Auteur pense à la vérité que cette réduite du cent vingtième degré, regardée comme une équation du vingt-quatrième degré, ne doit renfermer que les difficultés des degrés inférieurs au cinquième, et ses raisons sont : 1^o que l’expression des racines des équations du cinquième degré ne peut renfermer d’autres radicaux que ceux de ce degré et des degrés inférieurs ; 2^o que par conséquent les racines de la réduite de ce degré ne doivent renfermer que les mêmes espèces de radicaux, c’est-à-dire des radicaux cinquièmes, quatrièmes, etc. ; 3^o que comme les racines de la réduite du cent vingtième degré doivent être les racines cin-