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donc, dans ce cas, $\nu (\varpi -1)$ termes à faire disparaître ; par conséquent il faudra prendre $\rho =\nu (\varpi -1)$ pour avoir autant d’indéterminées, et de ce qu’on a démontré dans le n^o 14 il est facile de conclure que l’équation finale qu’on aura dans ce cas sera, en général, du degré marqué par le nombre

$1.2.3\ldots (\varpi -1)(\varpi +1)(\varpi +1)\ldots (2\varpi -1)(2\varpi +1)(2\varpi +1)\ldots$

$(3\varpi -1)\ldots (\nu \varpi -1),$

c’est-à-dire du degré

${\frac {1.2.3.4\ldots (\mu -1)}{\varpi .2\varpi .3\varpi \ldots (\nu -1)\varpi }}.$

ou bien de celui-ci

${\frac {\nu (\nu +1)(\nu +2)\ldots (\mu -1)}{\varpi ^{\nu -1}}}.$

Tels seront donc les degrés auxquels pourront monter les réduites qu’il faudra résoudre lorsqu’on voudra faire usage de la méthode de M. Tschirnaus ; mais il peut se faire que ces réduites soient telles qu’elles puissent s’abaisser à des degrés moindres c’est ce qu’il serait comme impossible de reconnaître à posteriori, c’est-à-dire par la forme même de ces réduites, mais on pourra s’en assurer à priori par la considération de leurs racines, regardées comme des fonctions de celles de l’équation proposée, et de l’équation transformée en $y,$ ainsi qu’on va le voir.

53. Désignons, en général, par $x',x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots$ les $\mu$ racines de l’équation proposée

$x^{\mu }+mx^{\mu -1}+nx^{\mu -2}+\ldots =0,$

et par $y',y'',y''',\ldots$ les $\mu$ racines de la transformée

$y^{\mu }+\mathrm {A} y^{\mu -1}+\mathrm {B} y^{\mu -2}+\ldots +\mathrm {V} =0\,;$

substituant successivement ces racines dans l’équation subsidiaire

$x^{\rho }+fx^{\rho -1}+gx^{\rho -2}+hx^{\rho -3}+\ldots +l+y=0,$

on aura $\mu$ équations particulières par lesquelles on pourra déterminer les coefficients indéterminés $f,g,h,\ldots \,;$ et comme chacune des racines $y',y'',$$y''',\ldots$ peut répondre également à chacune des racines $x',x'',$$x''',\ldots ,$