il s’ensuit que les inconnues
seront susceptibles de différentes valeurs, qu’on trouvera toutes en faisant toutes les combinaisons possibles des racines
avec les racines
C’est par le nombre et la forme de ces différentes valeurs d’une même inconnue qu’on pourra juger du degré et de la nature de l’équation par laquelle elle doit être déterminée.
54. Supposons d’abord que tous les termes intermédiaires de la transformée en y doivent disparaître, en sorte qu’elle se réduise à la forme
![{\displaystyle y^{\mu }+\mathrm {V} =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90f17ef04523ce85f8e96710193316742053296b)
pour cela il faudra faire dans l’équation subsidiaire
pour avoir
indéterminées (52), et comme l’équation
donne [en supposant pour plus de simplicité
![{\displaystyle u={\sqrt[{\mu }]{-\mathrm {V} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9e2e79fa2955c47ad98507f4225345f9445be16)
et désignant par
les racines de l’équation
(24)], les racines
on aura, en prenant ces racines pour
et les substituant, ainsi que les racines
dans l’équation subsidiaire, on aura, dis-je, ces
équations
![{\displaystyle (e)\qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}x^{'\mu -1}\ \ +fx^{'\mu -2}\ +gx^{'\mu -3}\ +\ldots +l+\quad \ u&=0,\\x^{''\mu -1}\ +fx^{''\mu -2}+gx^{''\mu -3}\ +\ldots +l+\ \ \alpha u&=0,\\x^{'''\mu -1}+fx^{'''\mu -2}+gx^{'''\mu -3}+\ldots +l+\alpha ^{2}u&=0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/426c607653d5bc445a77c5a40b2bcc4fc3b07a40)
par lesquelles on pourra déterminer tant la quantité
que les
quantités ![{\displaystyle f,g,\ldots ,l.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9381b6c2894ef3b584a036761009cdd5dc947947)
Comme ces inconnues ne sont qu’au premier degré dans les équations précédentes, il est clair que le système de toutes ces équations ne donnera qu’une seule valeur déterminée pour chacune de ces inconnues. Or, supposons que l’on ait trouvé, par la méthode ordinaire d’élimination, la valeur de l’inconnue
(on fera les mêmes raisonnementspour chacune des autres indéterminées
), il est visible que cette valeur sera exprimée par une fonction des
racines
et de la racine
Donc, si l’on y fait toutes les permutations possibles entre les
racines