de
dans la seconde équation, et
à la place de
dans la quatrième, et l’on cherchera comme auparavant les
variations provenantes des permutations entre les
racines
et ainsi de suite. Ce procédé donnera
fois
variations, ce qui fera le nombre total des
variations cherchées.
Or je dis que dès qu’on aura trouvé les
variations, qui ont lieu tant que
demeure à sa place, et qu’on change celles des autres racines
on pourra en déduire immédiatement toutes les variations résultantes des permutations entre les
racines
en substituant successivement
à la place de
dans toutes les équations
car par ce moyen le terme
de la seconde équation se changera successivement en
et les termes
des autres équations ne feront que s’échanger entre eux (à cause que
est un nombre premier, comme on peut s’en convaincre par ce qui a été démontré dans le no 24), échanges qui équivalent évidemment à ceux des racines
entre elles.
D’où je conclus que quand on aura trouvé par le moyen des équations
l’expression de
en
et
et qu’on voudra connaître les
valeurs de
qui résultent des permutations des racines
entre elles, et qui doivent être les racines de l’équation en
du degré
(numéro précédent), il suffira de chercher les
valeurs de
provenantes des seules permutations entre les racines
et d’y échanger ensuite successivement
en ![{\displaystyle \alpha ^{2},\alpha ^{3},\alpha ^{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/944f3fba420db19cb8aa39360bd2da87ffc81beb)
ou bien, ce qui revient au même, on échangera d’abord dans l’expression de
la racine
en
et ensuite on fera dans chacune de ces
valeurs de
les
permutations qui ont lieu entre les
racines
on aura par là les
racines de l’équation en
57. Imaginons maintenant que les
valeurs de
qui viennent de la substitution successive de
à la place de
soient les racines de l’équation du
ième degré
![{\displaystyle (f)\qquad \qquad \qquad f^{\mu -1}+\mathrm {F} f^{\mu -2}+\mathrm {G} f^{\mu -3}+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08cc7007476dc8d9240335c5cf10f336321776e6)