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$\alpha u,\alpha ^{2}u,\alpha ^{3}u,\ldots ,\alpha ^{\mu -1}u\,;$ c’est de quoi il est facile de se convaincre avec un peu d’attention en observant que

$\alpha ^{\mu }=1,\quad \alpha ^{\mu +1}=\alpha ,\quad \alpha ^{\mu +2}=\alpha ^{2},\ldots .$

Or il est visible que ces substitutions de $\alpha u,\alpha ^{2}u,\ldots$ à la place de $u$ ne peuvent produire aucun changement dans la valeur de $f\,;$ car, dès qu’on élimine $u,$ il est indifférent quelle valeur on donne à cette quantité, et les résultats de l’élimination sont nécessairement indépendants de la valeur de $u$.

Donc il n’y aura proprement que les $1.2.3\ldots (\mu -1)$ variations, qui résultent des permutations entre les $\mu -1$ racines $x'',x''',\ldots ,$ qui pourront donner des valeurs différentes pour $f\,;$ de sorte que l’équation en $f$ ne devra être que du degré $1.2.3\ldots (\mu -1),$ ce qui s’accorde avec ce que l’on a dit plus haut (52).

Mais voyons encore si cette équation ne sera pas susceptible de quelque réduction. Pour cela il faut distinguer le cas où l’exposant $\mu$ de la proposée est un nombre premier, et celui où cet exposant est un nombre composé.

56. Supposons que $\mu$ soit un nombre quelconque premier, et faisant abstraction, dans le système des équations $(e),$ de la première équation, à cause qu’on peut regarder la quantité $x'$ comme fixe, voyons quelles sont les variations dont ce système est susceptible en vertu des permutations entre les autres racines $x'',x''',\ldots .$

Pour cela on suivra une méthode semblable à celle du numéro précédent. On regardera d’abord la quantité $x''$ comme fixe et on cherchera les variations résultantes des $1.2.3\ldots (\mu -2)$ permutations entre les $\mu -2$ autres racines $x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots \,;$ on mettra ensuite $x''$ à la place de $x'''$ et réciproquement, ce qui revient au même que de mettre $\alpha ^{2}u$ à la place de $\alpha u$ dans la seconde équation, et $\alpha u$ à la place de $\alpha ^{2}u$ dans la troisième, et l’on cherchera de nouveau les $1.2.3\ldots (\mu -2)$ variations provenantes des permutations des autres racines $x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots \,;$ on mettra $x''$ à la place de $x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ et vice versâ, ou, ce qui revient au même, on substituera $\alpha ^{3}u$ à la place