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Maintenant il est visible que l’équation en $\mathrm {F}$ sera toujours d’un degré plus haut que la proposée, excepté le seul cas de $\mu =3\,;$ car, faisant $\mu =3,$ on a

$1.2\ldots (\mu -2)=1,$

faisant $\mu =5,$ on a

$1.2\ldots (\mu -2)=1.2.3=6,$

faisant $\mu =7,$ on a

$1.2\ldots (\mu -2)=1.2.3.4.5=120,$

et ainsi de suite ; donc, à moins que cette équation ne puisse encore s’abaisser à un degré moindre que $\mu ,$ la solution de M. Tschirnaus ne sera d’aucun usage ; or c’est ce qui me paraît presque impossible, en général.</math> Il est vrai que, quoique le degré $1.2\ldots (\mu -2)$ de l’équation dont nous parlons soit plus élevé que le degré $\mu$ de la proposée, cette équation ne renfermera pas cependant des difficultés supérieures à celles des équations du degré $\mu \,;$ car, puisque ses $1.2.3\ldots (\mu -2)$ racines sont des fonctions connues des $\mu$ racines $x',x'',x''',\ldots$ il est clair qu’elles ne seront pas indépendantes les unes des autres, mais qu’il y aura entre elles des relations exprimées par un nombre d’équations égal à la différence des exposants $1.2.3\ldots (\mu -2)$ et $\mu \,;$ de sorte que, supposant que l’on connaisse un nombre $\mu$ de ces racines, on connaîtra aussi par leur moyen toutes les autres.

D’où il s’ensuit que l’équation en $\mathrm {F}$ ne pourra renfermer dans le fond que les difficultés du degr $\mu \,;$ mais, par la même raison, il paraît aussi qu’elle devra toujours renfermer toutes les difficultés de ce degré, de sorte qu’on se trouvera ramené aux mêmes difficultés auxquelles la résolution générale de l’équation proposée est sujette.

59. Supposons présentement que l’exposant $\mu$ de la proposée soit un nombre composé dans ce cas il faudra apporter quelque modification au raisonnement du n^o 56, car, si dans les termes de la progression géométrique, $\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\ldots ,\alpha ^{\mu -1}$ on substituait indifféremment à la place de $\alpha$ les puissances $\alpha ^{2},\alpha ^{3},$$\ldots ,\alpha ^{\mu -1},$ on ne retrouverait pas toujours les mêmes termes comme lorsque $\mu$ est un nombre premier ; nous en avons donné