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Il se peut au reste que ces équations en $\mathrm {F} ,$ ou en $\mathrm {G} ,$ etc., soient encore susceptibles de quelques réductions ; c’est ce qui dépendra de la forme des fonctions de $x',x'',\ldots$ par lesquelles les quantités $\mathrm {F,G} ,\ldots$ seront exprimées ; mais nous n’entrerons pas dans cette recherche, d’autant que dans le cas où l’exposant $\mu$ est un nombre composé on peut simplifier la Solution de M. Tschirnaus en ne faisant évanouir que quelques-uns des termes intermédiaires de la transformée (52).

62. Nous allons donc chercher à priori les résultats qu’on doit avoir dans ce cas, et nous supposerons, comme dans le numéro cité, que, $\mu$ étant égal à $\nu \varpi ,$ tous les termes de la transformée en $y$ dont les exposants ne seront pas divisibles par $\varpi$ disparaissent, en sorte que, faisant $y^{\varpi }=z,$ l’équation $(c)$ devienne

$z^{\nu }+\mathrm {D} z^{\nu -1}+\mathrm {K} z^{\nu -2}+\ldots +\mathrm {V} =0,$

laquelle aura par conséquent $\nu$ racines que nous dénoterons par $z',z'',$$z''',\ldots ,z^{(\nu )}\,;$ et comme l’équation $y^{\varpi }=z$ donne

$y={\sqrt[{\varpi }]{z}},$

ou bien, en dénotant par $1,\alpha ,\alpha ^{2},\ldots \alpha ^{\varpi -1}$ les $\varpi$ racines de $y^{\varpi }-1=0,$

$y={\sqrt[{\varpi }]{z}},\quad \alpha {\sqrt[{\varpi }]{z}},\quad \alpha ^{2}{\sqrt[{\varpi }]{z}},\ldots ,\quad \alpha ^{\varpi -1}{\sqrt[{\varpi }]{z}},$

on aura, en substituant successivement à la place de $z$ les $\nu$ racines $z',z'',$$z''',\ldots ,$ et faisant pour plus de simplicité

$\zeta '={\sqrt[{\varpi }]{z'}},\quad \zeta ''={\sqrt[{\varpi }]{z''}},\quad \zeta '''={\sqrt[{\varpi }]{z'''}},\ldots ,$

on aura, dis-je, ces $\mu$ valeurs de $y$

${\begin{array}{lllll}\zeta ',&\ \alpha \zeta ',&\ \alpha \zeta ',&\ \alpha ^{2}\zeta ',&\ \alpha ^{3}\zeta ',\ldots ,&\ \alpha ^{\varpi -1}\zeta ',\\\zeta '',&\ \alpha \zeta '',&\ \alpha \zeta '',&\ \alpha ^{2}\zeta '',&\ \alpha ^{3}\zeta '',\ldots ,&\ \alpha ^{\varpi -1}\zeta '',\\\zeta ''',&\,\ \alpha \zeta ''',&\ \alpha \zeta ''',&\,\ \alpha ^{2}\zeta ''',&\ \alpha ^{3}\zeta ''',\ldots ,&\ \alpha ^{\varpi -1}\zeta ''',\\\end{array}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

${\begin{array}{lllll}\zeta ^{(\nu )},&\alpha \zeta ^{(\nu )},&\alpha \zeta ^{(\nu )},&\alpha ^{2}\zeta ^{(\nu )},&\alpha ^{3}\zeta ^{(\nu )},\ldots ,&\alpha ^{\varpi -1}\zeta ^{(\nu )},\end{array}}$

qui seront celles des racines $y',y'',y''',\ldots ,y^{(\mu )}.$