seule équation
![{\displaystyle y^{2}+1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f29d3437c0c87371ec42432f87f279e593a58c7)
dont les racines seront
et ![{\displaystyle \alpha ^{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b608764081046d198e29025066db8c3ea9947ace)
Si
on aura
donc
ce qui donnera ces deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}&y^{3}+1=0,\\&y^{4}+y^{2}+1=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa3442f32e380e548edd6f55133a9418d2a8c8d1)
dont le plus grand commun diviseur est
![{\displaystyle y^{2}-y+1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c84ed7fd57f7b559860ecb5e34b02a7cfd6c6cd)
équation dont les racines seront par conséquent
et ![{\displaystyle \alpha ^{5}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cda18d244f6fcf960d7476f67e22ad753ca99957)
Si
on aura
donc
et l’on aura cette seule équation
![{\displaystyle y^{4}+1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/113bc0d23f9bc03fa79787ccb0fa944ab8e2d92c)
dont les racines seront
et ainsi de suite.
Quant à l’exposant
on peut le déterminer à priori d’après les facteurs du nombre
car on aura toujours
![{\displaystyle \lambda ={\frac {\mu }{rst\ldots }}(r-1)(s-1)(t-1)\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89a8ef3bc8ece41cd3be1367d6609867159e7f4b)
comme on peut le démontrer aisément en cherchant combien, parmi les nombres moindres que
il y en aura de premiers à
(Voyez les Nouveaux Commentaires de Pétersbourg, tome VIII.)
61. Ayant donc trouvé ainsi l’équation
, on s’en servira pour éliminer
de l’expression de
et il en résultera l’équation
, dont tous les coefficients
seront des fonctions des racines
sans
telles qu’elles ne seront susceptibles que de
variations, par toutes les permutations possibles des racines
entre elles ; de sorte que chacune de ces fonctions sera donnée simplement par une équation du degré
![{\displaystyle {\frac {1.2.3\ldots (\mu -1)}{\lambda }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37aa387c4df18328c5b4a6d2471e6db1605f8435)
comme on l’a déjà dit plus haut.