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des puissances premières, secondes, troisièmes, etc., jusqu’aux $\mu$^ième, des racines $\theta ',\theta '',\theta ''',\ldots ,$ et pour cela il sera utile de faire entrer dans le calcul la quantité

$\theta ^{0}=\xi +\xi '+\xi ''+\xi '''+\ldots +\xi ^{(\mu -1)}\,;$

en sorte que les quantités $\theta ^{0},\theta ',\theta '',\ldots$ répondent aux racines $1,\alpha ,\beta ,\ldots$ de l’équation $y^{\mu }-1=0.$

Or, si l’on élève successivement le polynôme

$\xi +\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi ''+\alpha ^{3}\xi '''+\ldots +\alpha ^{\mu -1}\xi ^{(\mu -1)}$

aux puissances seconde, troisième, etc., et qu’on dénote par $\xi _{2},\xi _{3},$$\xi _{4},\ldots ,$ les termes de ces puissances qui ne seront point affectés de $\alpha ,$ après avoir substitué partout $1$ à la place de $\alpha ^{\mu },$ $\alpha$ à la place de $\alpha ^{\mu +1}$ et ainsi de suite ; il est facile de voir, par les propriétés des quantités $1,\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ (67), que les sommes des puissances premières, secondes, troisièmes, etc., des quantités $\theta ^{0},\theta ',\theta '',\ldots$ se réduiront à $\mu \xi ,\mu \xi _{2},\mu \xi _{3},\ldots .$

Or

${\begin{aligned}\theta ^{0}=\xi +\xi '+\xi ''+\xi '''+\ldots +\xi ^{(\mu -1)}&=\left[x'+x''+x'''+\ldots +x^{(\mu -1)}\right]^{\mu }\\&=(-m)^{\mu }\,;\end{aligned}}$

donc, si l’on retranche respectivement des quantités $\mu \xi ,\mu \xi _{2},\mu \xi _{3},\ldots$ les puissances première, seconde, troisième, etc., de $(-m)^{\mu },$ les restes

$\mu \xi -(-m)^{\mu },\quad \mu \xi _{2}-(-m)^{2\mu },\quad \mu \xi _{3}-(-m)^{3\mu },\ldots$

seront les sommes des $\mu -1$ racines $\theta ',\theta '',\theta ''',\ldots$ de leurs carrés, de leurs cubes, etc., de sorte qu’on aura, par les formules connues,

${\begin{aligned}\mathrm {T} =&\mu \xi -(-m)^{\mu },\\\mathrm {U} =&{\frac {\mathrm {T} \left[\mu \xi -(-m)^{\mu }\right]}{2}}-{\frac {\mu \xi _{2}-(-m)^{2\mu }}{2}},\\\mathrm {X} =&{\frac {\mathrm {U} \left[\mu \xi -(-m)^{\mu }\right]}{3}}-{\frac {\mathrm {T} \left[(\mu \xi _{2}-(-m)^{2\mu }\right]}{3}}+{\frac {\mu \xi _{3}-(-m)^{3\mu }}{3}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

73. Maintenant, si l’on fait dans les expressions des quantités $\mathrm {T,U,X} ,\ldots$ toutes les permutations possibles entre les racines $x',x'',x''',\ldots ,$