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et ensuite (71)

$b={\frac {\sqrt[{5}]{\theta '}}{5}},\quad c={\frac {\sqrt[{5}]{\theta ''}}{5}},\quad d={\frac {\sqrt[{5}]{\theta '''}}{5}},\quad e={\frac {\sqrt[{5}]{\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}{5}},$

$\theta ',\theta '',\theta ''',\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ étant les quatre racines de l’équation

$\theta ^{4}-\mathrm {T} \theta ^{3}+\mathrm {U} \theta ^{2}-\mathrm {X} \theta +\mathrm {Y} =0,$

laquelle sera un diviseur de l’équation du vingt-quatrième degré qu’on doit trouver pour la valeur de $\theta .$

Maintenant, pour avoir la valeur des coefficients $\mathrm {T,U} ,\ldots ,$ il faudra élever le polynôme

$x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''+\alpha ^{3}x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\alpha ^{4}x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}$

à la cinquième puissances, ce qui donnera, à cause de $\alpha ^{5}=1,$ cet autre polynôme

$\xi +\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi ''+\alpha ^{3}\xi '''+\alpha ^{4}\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$

où

$\xi =x'^{5}+x''^{5}+x'''^{5}+x^{{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}5}+x^{{\scriptscriptstyle {\text{V}}}5}+120x'x''x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}$

${\begin{aligned}+20\left[x'^{3}\left(x''x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}+x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\right.&+x''^{3}\left(x'x'''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\right)+x'''^{3}\left(x'x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}+x''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\\&+\left.x^{{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}3}\left(x'x''+x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\right)+x^{{\scriptscriptstyle {\text{V}}}3}\left(x'x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x''x'''\right)\right]\\+30\left[x'\left(x''^{2}x^{{\scriptscriptstyle {\text{V}}}2}+x'''^{2}x^{{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}2}\right)\right.&+x''\left(x'^{2}x'''^{2}+x^{{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}2}x^{{\scriptscriptstyle {\text{V}}}2}\right)+x'''\left(x'^{2}x^{{\scriptscriptstyle {\text{V}}}2}+x''^{2}x^{{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}2}\right)\\&+\left.x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\left(x'^{2}x''^{2}+x'''^{2}x^{{\scriptscriptstyle {\text{V}}}2}\right)+x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\left(x'^{2}x^{{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}2}+x''^{2}x'''^{2}\right)\right],\end{aligned}}$

$\xi '=5\left(x'^{4}x''+x''^{4}x'''+x'''^{4}x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x^{{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}4}x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}+x^{{\scriptscriptstyle {\text{V}}}4}x'\right)+\ldots ,$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .$

Et l’on aura d’abord

$\mathrm {T} =5\xi +m^{5}.$

Or, en considérant l’expression de $\xi ,$ on voit que les termes

$x'^{5}+x''^{5}+x'''^{5}+x^{{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}5}+x^{{\scriptscriptstyle {\text{V}}}5}+120x'x''x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}$

peuvent s’exprimer immédiatement par les coefficients $m,n,\ldots$ de l’équation proposée ; et il est facile de trouver que la valeur de ces termes sera

$-m^{5}+5m^{3}n-5m^{2}p+5m\left(q-n^{2}\right)+5np-125r.$