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laquelle, quand l’exposant $\mu$ de la proposée est un nombre premier, doit être décomposable en $1.2.3\ldots (\mu -2)$ facteurs du $(\mu -1)$^ième degré chacun.

Ce résultat s’accorde, comme on voit, avec celui que l’on aurait par la méthode de M. Tschirnaus ; ainsi l’on y pourra appliquer des remarques semblables à celles que nous avons faites dans le n^o 58.

74. Pour éclaircir la théorie précédente par un exemple, prenons l’équation du cinquième degré

$x^{5}+mx^{4}+nx^{3}+px^{2}+qx+r=0,$

dont les racines soient désignées par $x',x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}.$

On supposera donc

$x=a+by+cy^{2}+dy^{3}+ey^{4},$

et l’on regardera l’équation proposée comme le résultat de celle-ci et de l’équation à deux termes

$y^{5}+\mathrm {V} =0,$

ou bien, en faisant, comme dans le n^o 68, $\mathrm {V} =-1,$

$y^{5}-1=0.$

MM. Euler et Bezout ont donné dans leurs Mémoires sur ce sujet l’équation finale, qui doit résulter de l’élimination de $y$ dans le cas de $m=0$ et de $a=0,$ et dont la comparaison avec la proposée fournit les quatre équations nécessaires pour la détermination des coefficients $b,c,$$d,e\,;$ mais ces savants Auteurs n’ont point donné le résultat qui doit provenir de ces quatre équations par l’élimination de trois quelconques des quatre inconnues qu’elles renferment, et cela à cause du travail immense que cette élimination demande. La méthode précédente fournit les moyens de trouver ce résultat à priori, et nous allons en donner un essai.

On aura d’abord (67)

$a=-{\frac {m}{5}},$