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de sorte qu’en rassemblant toutes ces quantités on aura enfin

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&-6mn\left(3n-2m^{2}\right)+2\left(8n+3m^{2}\right)\left(-m^{3}+3mn-3p\right)\\&-16m\left(m^{4}-4m^{2}n+4mp-4q+2n^{2}\right)\\&+10\left[-m^{5}+5m^{3}n-5m^{2}p+5m\left(q-n^{2}\right)-5r+5np\right].\end{aligned}}$

On pourra trouver d’une manière semblable la valeur de chacun des autres coefficients $\mathrm {B,C} ,\ldots$ de l’équation $z,$ et l’on en abrégera beaucoup le calcul si l’on fait usage des règles données par M. Cramer à la fin de son Introduction à l’Analyse des lignes courbes, pour calculer la somme des produits des racines d’une équation quelconque, prises deux à deux, ou trois à trois, ou, etc., et élevées chacune à une puissance quelconque donnée ; mais nous n’entrerons point ici dans ce détail qui, outre qu’il exigerait des calculs très-longs, ne saurait d’ailleurs jeter aucune lumière sur la résolution des équations du cinquième degré ; car comme la réduite en $z$ est du sixième degré, elle ne sera pas résoluble à moins qu’elle ne puisse s’abaisser à un degré inférieur au cinquième ; or c’est ce qui ne me paraît guère possible d’après la forme des racines $z',z'',\ldots$ de cette équation.

75. Nous avons supposé depuis le n^o 70 jusqu’ici, que l’exposant $\mu$ de l’équation proposée était un nombre premier ; voyons maintenant ce qui doit arriver lorsque $\mu$ sera un nombre composé.

Dans ce cas il est facile de prouver par des raisonnements analogues à ceux du n^o 59 que les conclusions du numéro cité et des numéros suivants n’auront lieu que tant qu’on ne substituera à la place de $\alpha$ que les puissances $\alpha ^{\nu },\alpha ^{\varpi },\alpha ^{\rho },\ldots ,$ dont les exposants $\nu ,\varpi ,\rho ,\ldots$ sont des nombres premiers à $\mu \,;$ d’où il s’ensuit :

1^o Qu’en désignant par $\lambda -1$ le nombre des exposants $\nu ,\varpi ,\rho ,\ldots$ dont il s’agit, l’équation en $\theta ,$ qui est généralement du degré $1.2.3\ldots (\mu -1),$ sera décomposable en ${\frac {1.2.3\ldots (\mu -1)}{\lambda }}$ équations, chacune du degré $\lambda ,$ et telle que

$\theta ^{\lambda }-\mathrm {T} \theta ^{\lambda -1}+\mathrm {U} \theta ^{\lambda -2}-\mathrm {X} \theta ^{\lambda -3}+\ldots =0,$