les puissances
seront les racines de l’équation
(24).
Faisant donc rentrer les puissances de
plus hautes que
dans la classe des inférieures, l’expression de
deviendra de cette forme
![{\displaystyle t=z'+\omega z''+\omega ^{2}z'''+\omega ^{3}z^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots +\omega ^{\varpi -1}z^{(\varpi )},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7226254b8afcd436e532bb451713adb8ca1ef410)
en supposant
![{\displaystyle {\begin{aligned}z'\ \ &=x'\,\ +x^{(\varpi +1)}+x^{(2\varpi +1)}+\ldots +x^{(\mu -\varpi +1)},\\z''\ &=x''\ +x^{(\varpi +2)}+x^{(2\varpi +2)}+\ldots +x^{(\mu -\varpi +2)},\\z'''&=x'''+x^{(\varpi +3)}+x^{(2\varpi +3)}+\ldots +x^{(\mu -\varpi +3)},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\z^{(\varpi )}&=x^{(\varpi )}+x^{(2\varpi )}+x^{(3\varpi )}+\ldots +x^{(\mu )}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a5e69987d644baf384b88f5d5752650f10ab9dd)
77. En considérant maintenant l’équation en
dans toute sa généralité, il est clair qu’elle devrait être du degré
puisqu’il y a autant de permutations possibles entre les
racines
et dont chacune doit donner une valeur particulière de
mais si parmi ces valeurs il y en a d’égales, on pourra en faire abstraction et abaisser par là l’équation en
à un moindre degré ; or c’est précisément ce qui a lieu dans le cas présent.
En effet, il est visible que la quantité
demeurera toujours la même, quelque permutation qu’on fasse entre les racines
donc, puisque
choses admettent
permutations, il s’ensuit d’abord que les
valeurs de
seront telles que chacune se trouvera répétée
fois ; en sorte que parmi ces valeurs il ne pourra y en avoir que
de différentes entre elles.
Considérons ensuite la quantité
on prouvera de la même manière que chacune de ces dernières valeurs devra aussi se trouver répétée
fois, ce qui réduira le nombre des valeurs différentes de
à
En continuant le même raisonnement à l’égard des autres quantités ![{\displaystyle z''',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e022c73250c80abea000d672bcbb021db82a14c7)
on en conclura enfin que le nombre des valeurs différentes