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les formules connues

{\begin{aligned}\mathrm {T} =\lambda \xi \,+\mathrm {S'\xi '\ +S''\xi ''+S'''} \xi '''+\,&\ldots ,\\\mathrm {U} ={\frac {1}{2}}\mathrm {T\left(\lambda \xi +S'\xi '\,+S''\xi ''+\ldots \right)} &-{\frac {1}{2}}\mathrm {\left(\lambda \xi _{2}+S'\xi '_{2}\,+S''\xi ''_{2}+\ldots \right)} ,\\\mathrm {X} ={\frac {1}{3}}\mathrm {U\left(\lambda \xi +S'\xi '\,+S''\xi ''+\ldots \right)} &-{\frac {1}{3}}\mathrm {T} \mathrm {\left(\lambda \xi _{2}+S'\xi '_{2}\,+S''\xi ''_{2}+\ldots \right)} ,\\&+{\frac {1}{3}}\mathrm {\left(\lambda \xi _{3}+S'\xi '_{3}\,+S''\xi ''_{3}+\ldots \right)} ,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}

76. Pour trouver maintenant les valeurs des autres coefficients qui, dans la série $k,h,g,\ldots ,c,b$ occupent des places marquées par des nombres commensurables à $\mu ,$ supposons, en général, $\mu =\nu \varpi ,$ et que l’on cherche ceux des coefficients dont il s’agit dont l’exposant du rang sera multiple de $\nu \,;$ il est facile de voir par ce qui a été dit dans le n^o 68, que si l’on exprime, pour plus de simplicité, ces coefficients par

{\frac {a^{(\nu )}}{\mu }},\quad {\frac {a^{(2\nu )}}{\mu }},\quad {\frac {a^{(3\nu )}}{\mu }},\ldots ,

et qu’on fasse $\alpha ^{\nu }=\omega ,$ on aura

a^{(\nu )}=x'+\omega x''+\omega ^{2}x'''+\omega ^{3}x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots +\omega ^{\mu -1}x^{(\mu )}\,;

et, pour avoir les autres quantités $a^{(2\nu )},a^{(3\nu )},\ldots ,$ il n’y aura qu’à changer successivement $\omega$ en $\omega ^{2},\omega ^{3},\ldots .$