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présenté par le produit $\nu \varpi$ des deux nombre $\nu$ et $\varpi ,$ on prendra deux équations de cette forme

$(l)\left\{{\begin{aligned}x^{\nu }&-\left(a\ \ +by\ \ +cy^{2}\,\ +dy^{3}\ \ +\ldots +ky^{\varpi -1}\ \ \right)x^{\nu -1}\\&+\left(a'\ +b'y\ +c'y^{2}+d'y^{3}\ +\ldots +k'y^{\varpi -1}\ \right)x^{\nu -2}\\&-\left(a''+b''y+c''y^{2}+d''y^{3}+\ldots +k''y^{\varpi -1}\right)x^{\nu -3}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\pm \left[a^{\nu -1}+b^{\nu -1}y+c^{\nu -1}y^{2}+d^{\nu -1}y^{3}+\ldots +k^{\nu -1}y^{\varpi -1}\right]=0,\end{aligned}}\right.$

$y^{\varpi }-1=0.$

Et éliminant $y$ on aura une équation finale en $x$ du degré yts qu’on comparera terme à terme avec la proposée ; ce qui donnera équations particulières entre les coefficients $a,b,c,\ldots a',b',c',\ldots ,$ dont le nombre est aussi $\nu \varpi \,;$ de sorte qu’on pourra par là déterminer chacun de ces coefficients.

Or, comme l’équation $y^{\varpi }-1=0$ donne $\varpi$ valeurs de $y,$ on aura, par la substitution successive de ces valeurs, autant d’équations en $x,$ chacune du degré $\nu \,;$ d’où l’on tirera $\mu \nu$ valeurs de $x,$ qui seront les racines de l’équation proposée.

Il est clair, par la théorie de l’élimination exposée dans le n^o 13, que l’équation résultante de l’élimination de $y$ dans les deux équations ci-dessus ne sera autre chose que le produit de toutes les équations $(l)$ que l’on aurait en y mettant à la place de $y$ les racines de l’équation $y^{\varpi }-1=0\,;$ d’où l’on voit que l’esprit de cette méthode consiste à décomposer l’équation proposée du degré en équations, chacune du $\nu$^ième degré, et cela moyennant une équation du degré $\varpi ,$ de la forme $y^{\varpi }-1=0.$

Toute la difficulté consiste dans la détermination des coefficients inconnus $a,b,c,\ldots ,a',b',c',\ldots \,;$ c’est pourquoi il est bon de rechercher à priori quelle doit être la nature des équations par lesquelles ces quantités doivent se déterminer.

81. Supposons donc que l’équation proposée du degré $\mu =\nu \varpi ,$ et