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dont les racines sont $x',x'',x''',\ldots ,$ soit le produit de $\varpi$ équations telles que

${\begin{array}{rrrr}x^{\nu }-&z'\,\ x^{\nu -1}+&u'\,\ x^{\nu -2}-&v'\,\ x^{\nu -3}+\ldots =0,\\x^{\nu }-&z''\ x^{\nu -1}+&u''\ x^{\nu -2}-&v''\ x^{\nu -3}+\ldots =0,\\x^{\nu }-&z'''x^{\nu -1}+&u'''x^{\nu -2}-&v'''x^{\nu -3}+\ldots =0,\\\end{array}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,$

$x^{\nu }-z^{(\varpi )}x^{\nu -1}+u^{(\varpi )}x^{\nu -2}-\varpi ^{(\varpi )}x^{\nu -3}+\ldots =0\,;$

il faudra que chacune de ces équationsrenferme $\nu$/math> racines de la proposée ; de sorte qu’en partageant la totalité des $\mu$ racines $x',x'',x''',\ldots ,x^{(\mu )}$ en $\varpi$ systèmes de $\nu$/math> racines chacun, et tels par exemple que

${\begin{array}{llll}x',&x^{(\varpi +1)},&x^{(2\varpi +1)},\ldots &x^{(\mu -\varpi +1)},\\x'',&x^{(\varpi +2)},&x^{(2\varpi +2)},\ldots &x^{(\mu -\varpi +2)},\\x''',&x^{(\varpi +3)},&x^{(2\varpi +3)},\ldots &x^{(\mu -\varpi +3)},\\\end{array}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

$x^{(\varpi )},\ \ x^{(2\varpi )},\,\ \quad x^{(3\varpi )},\ldots \ \ \ \quad x^{(\mu )},$

on aura par la nature des équations $z'$ égal à la somme, $u'$ égal à la somme des produits deux à deux, $v'$ égal à la somme des produits trois à trois, etc., des racines $x',x^{(\varpi +1)},x^{(2\varpi +1)},\ldots ,x^{(\mu -\varpi +1)}\,;$ de même on aura $z''$ égal à la somme, $u''$ égal à la somme des produits deux à deux, $v''$ égal à la somme des produits trois à trois, etc., des racines $x'',x^{(\varpi +2)},x^{(2\varpi +2)},\ldots ,x^{(\mu -\varpi +2)},$ et ainsi de suite.

Or, si l’on désigne par $1,\omega ,\varphi ,\psi ,\ldots$ les racines de l’équation $y^{\varpi }-1=0,$ on aura (numéro précédent)

${\begin{aligned}&a+b+c+d+\ldots +k=z',\\&a+b\omega +c\omega ^{2}+d\omega ^{3}+\ldots +k\omega ^{\varpi -1}=z'',\\&a+b\varphi +c\varphi ^{2}+d\varphi ^{3}+\ldots +k\varphi ^{\varpi -1}=z''',\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et de même

${\begin{aligned}&a'+b'+c'+d'+\ldots +k'=u',\\&a'+b'\omega +c'\omega ^{2}+d'\omega ^{3}+\ldots +k'\omega ^{\varpi -1}=u'',\\&a'+b'\varphi +c'\varphi ^{2}+d'\varphi ^{3}+\ldots +k'\varphi ^{\varpi -1}=u''',\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et ainsi de suite.