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Donc, puisque par la nature de l’équation $y^{\varpi }-1=0$ qui manque de tous les termes intermédiaires on a

${\begin{aligned}&1+\omega \ +\varphi \ +\psi \ +\ldots =0,\\&1+\omega ^{2}+\varphi ^{2}+\psi ^{2}+\ldots =0,\\&1+\omega ^{3}+\varphi ^{3}+\psi ^{3}+\ldots =0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

on pourra déterminer les valeurs des quantités $a,b,c,\ldots ,k,$$a',b',c',\ldots ,k',$$a'',b'',c'',\ldots ,k'',\ldots$ par une méthode semblable à celle du n^o 67 ; et il viendra

${\begin{aligned}&\varpi a=z'+z''+z'''+\ldots +z^{(\varpi )},\\&\varpi b=z'+\omega ^{\varpi -1}z''+\varphi ^{\varpi -1}z'''+\ldots ,\\&\varpi c=z'+\omega ^{\varpi -2}z''+\varphi ^{\varpi -2}z'''+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

ensuite

${\begin{aligned}&\varpi a'=u'+u''+u'''+\ldots +u^{(\varpi )},\\&\varpi b'=u'+\omega ^{\varpi -1}u''+\varphi ^{\varpi -1}u'''+\ldots ,\\&\varpi c'=u'+\omega ^{\varpi -2}u''+\varphi ^{\varpi -2}u'''+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

82. Examinons les valeurs des quantités $a,b,c,\ldots ,k,$ et il est d’abord clair que la valeur de $\varpi a$ sera égale à la somme de toutes les racines $x',x'',x''',\ldots ,x^{(\mu )}\,;$ de sorte que l’on aura $\varpi a=-m\,;$ et par conséquent $a=-{\frac {m}{\varpi }}.$

Ensuite, si l’on met $\omega ^{2},\omega ^{3},\ldots$ à la place de $\varphi ,\psi ,\ldots ,$ en sorte que les racines de l’équation $y^{\varpi }-1=0$ soient représentées par $1,\omega ,\omega ^{2},\omega ^{3},$$\ldots ,\omega ^{\varpi -1}$ (24), on aura

$\varpi k=z'+\omega z''+\omega ^{2}z'''+\omega ^{3}z^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots +\omega ^{\varpi -1}z^{(\varpi )},$

et pour avoir les valeurs des quantités $\varpi h,\varpi g,\ldots$ il n’y aura qu’à changer successivement, dans cette expression, la racine $\omega$ en $\omega ^{2},\omega ^{3},\ldots .$

Or l’expression précédente de $\varpi k$ est la même que celle de la quan-