donc on aura
![{\displaystyle \mathrm {T} ={\Bigl [}t-f\left[(x')(x'')\right]{\Bigr ]}\times {\Bigl [}t-f\left[(x'')(x')\right]{\Bigr ]}\times {\Bigl [}t-f\left[(x')^{2}\right]{\Bigr ]}\times {\Bigl [}t-f\left[(x'')^{2}\right]{\Bigr ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f97d88f63e9b39bfa6b043971808de681a95252f)
Or, si l’on considère la fonction ![{\displaystyle f\left[(x)^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b6287d01fbbffcde6711d6474d5dc66a8ea581c)
et qu’on fasse ![{\displaystyle t-f\left[(x)^{2}\right]=\xi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6796da02c08778263db97d53489a54801c050e24)
qu’on élimine ensuite 
de l’équation 
par le moyen de l’équation 
on aura l’équation 
où 
sera une fonction rationnelle de 
et de 
Et désignant par 
et 
les valeurs de 
qui résultent de la substitution de 
à la place de 
on aura
Mais on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi '\ =&t-f\left[(x')^{2}\right],\\\xi ''=&t-f\left[(x'')^{2}\right]\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/302343aa2337fd7a0353d17f50b3d6e38dd8207e)
donc
![{\displaystyle \theta ={\Bigl [}t-f\left[(x')^{2}\right]{\Bigr ]}\times {\Bigl [}t-f\left[(x'')^{2}\right]{\Bigr ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a06ef850d4c4d46742fd108dbc011e07937d91b)
Faisons
![{\displaystyle \Theta ={\Bigl [}t-f\left[(x')(x'')\right]{\Bigr ]}\times {\Bigl [}t-f\left[(x'')(x')\right]{\Bigr ]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1c86228d56ca4c791ba4ab337526f90f4ac2490)
et l’on aura 
et par conséquent 
de sorte que, comme 
et sont des fonctions rationnelles de 
et 
il est clair que 
sera aussi une fonction rationnelle de 
Ainsi l’équation 
pourra se décomposer en ces deux-ci 
et 
et comme la première est celle qui donne la valeur de ![{\displaystyle f\left[(x)^{2}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1854a88ec7f13db56cdefb4370bc49060ca7ffe)
il s’ensuit que la détermination de la fonction proposée ![{\displaystyle f\left[(x')(x'')\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/087e8c48ebd4e9fb28b7829f455b3d89641df8cb)
dépendra uniquement de l’autre équation 
Donc, pour trouver cette équation 
qui résout le Problème, il n’y aura qu’à éliminer des équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}&t-f\left[(x)(y)\right]=0,\\&t-f\left[(x)^{2}\right]=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be3e8d397877dcdfcc9756cd606b7635b0019f14)
les inconnues ety par le moyen des équations
