j’aurai ainsi l’équation
![{\displaystyle t-f\left[(x)(y)\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c6d4d2c89e5a312cdcad9c9bd27eabc1c4f6db0)
d’où il s’agira de chasser
et
par le moyen des deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+mx+n=&0,\\y^{2}+my+n=&0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9198cf05d7e58110b79c9e8dfae9a79b2ce9b38)
Soit
![{\displaystyle t-f\left[(x)(y)\right]=\mathrm {X} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a9bd79a6464bfa7c1b07d23a1983b6a722cf6dc)
on chassera d’abord
de l’équation
par le moyen de l’équation
ce qui donnera une équation que je désignerai par
et dans laquelle
sera une fonction rationnelle des quantités
et
On chassera ensuite
de cette dernière équation par le moyen de l’autre équation
et l’on aura l’équation finale
où
sera une fonction rationnelle de
et ![{\displaystyle n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59df02a9f67a5da3c220f1244c99a46cc4eb1c6)
Je remarque maintenant que puisque les racines de l’équation
![{\displaystyle x^{2}+mx+n=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c22e0401e325ba2df46a58a0241781f59b5d723)
sont
et
si l’on désigne par
et
les valeurs de
qui viennent de la substitution de ces racines à la place de
on aura (par ce qui a été démontré dans le no 13 de la Section I)
![{\displaystyle \mathrm {Y=X'X''} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ac52f2093bb7d8477183a1e099ac53fb785ef93)
Et de même, à cause que
et
sont aussi les racines de l’équation
si l’on désigne par
et
les valeurs de
qui résulteront de la substitution de
et
à la place de
on aura
![{\displaystyle \mathrm {T=Y'Y''} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ef3f76cd845c678dbc0de4e684d78b3744033d8)
Or on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} '\ =&t-f\left[(x'\ )(y)\right],\\\mathrm {X} ''\ =&t-f\left[(x'')(y)\right]\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d98f5d921d6fdb1eae521a8f19b01948ef3b618)
donc
![{\displaystyle \mathrm {Y} ={\Bigl [}t-f\left[(x')(y)\right]{\Bigr ]}\times {\Bigl [}t-f\left[(x'')(y)\right]{\Bigr ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22226bc77532d7388554192c539d1432bfb6e655)
et de là
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Y} '\ =&{\Bigl [}t-f\left[(x')(x'\ )\right]{\Bigr ]}\times {\Bigl [}t-f\left[(x'')(x'\ )\right]{\Bigr ]},\\\mathrm {Y} ''=&{\Bigl [}t-f\left[(x')(x'')\right]{\Bigr ]}\times {\Bigl [}t-f\left[(x'')(x'')\right]{\Bigr ]},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ec86dc613d301f8c8ecb4969ddeac7ea6e0b47e)