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Et si l’on fait $\psi (y)=\log y,$ on aura à cause de $\log y=0,$

${\begin{aligned}\log {\frac {x}{\alpha }}&=\mathrm {A} \alpha ^{p-1}\\&+\mathrm {B} \alpha ^{p+q-1}+{\frac {2p-1}{2}}\mathrm {B} _{1}\alpha ^{2p-2}\\\\&+\mathrm {C} \alpha ^{p+2q-1}+{\frac {2p+q-1}{2}}\mathrm {C} _{1}\alpha ^{2p+q-2}+{\frac {(3p-1)(3p-2)}{2.3}}\mathrm {C} _{2}\alpha ^{3p-3}\\\\&+\mathrm {D} \alpha ^{p+3q-1}+{\frac {2p+2q-1}{2}}\mathrm {D} _{1}\alpha ^{2p+2q-2}\\&\quad +{\frac {(3p+q-1)(3p+q-2)}{2.3}}\mathrm {D} _{2}\alpha ^{3p+q-3}\\&\quad +{\frac {(4p-1)(4p-2)(4p-3)}{2.3.4}}\mathrm {D} _{3}\alpha ^{4p-4}\\\\&+\mathrm {E} \alpha ^{p+4q-1}+{\frac {2p+3q-1}{2}}\mathrm {E} _{1}\alpha ^{2p+3q-2}\\&\quad +{\frac {(3p+2q-1)(3p+2q-2)}{2.3}}\mathrm {E} _{2}\alpha ^{3p+2q-3}\\&\quad +{\frac {(4p+q-1)(4p+q-2)(4p+q-3)}{2.3.4}}\mathrm {E} _{3}\alpha ^{4p+q-4}\\&\quad +{\frac {(5p-1)(5p-2)(5p-3)(5p-4)}{2.3.4.5}}\mathrm {E} _{4}\alpha ^{5p-5}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

22. Exemple VII. Si l’on avait l’équation

$0=\alpha -x^{r}+\beta x^{p}+\gamma x^{p+q}+\delta x^{p+2q}+\varepsilon x^{p+3q}+\ldots ,$

on pourrait la ramener à celle de l’Exemple précédent en faisant $x^{r}=t,$ ce qui la changerait en celle-ci

$0=\alpha -t+\beta t^{\frac {p}{r}}+\gamma t^{\frac {p+q}{r}}+\delta t^{\frac {p+2q}{r}}+\varepsilon t^{\frac {p+3q}{r}}+\ldots .$

laquelle est, comme on voit, dans le cas dont nous parlons ; de sorte qu’il n’y aura qu’à changer dans les formules précédentes $x$ en $t,$ $p$ en ${\frac {p}{r}}$ et $q$ en ${\frac {q}{r}}$ pour les appliquer à l’équation dont il s’agit ici.

Supposons, pour plus de simplicité, $\alpha =\rho ^{r},$ et l’on aura, en met-