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est de sa propre nature telle, qu’elle conserve la même valeur en faisant deux, ou trois, ou un plus grand nombre de permutations différentes entre les racines $x',x'',x''',x^{\text{ıv}},$ les racines de l’équation $\Theta =0$ seront égales trois à trois, ou quatre à quatre, ou, etc. ; en sorte que la quantité $\Theta$ sera égale à un cube $\theta ^{3},$ ou à un carré-carré $\theta ^{4},$ ou, etc., et que par conséquent l’équation $\Theta =0$ se réduira à celle-ci $\theta =0,$ dont le degré sera égal às ${\frac {\varpi }{3}},$ ou égal à ${\frac {\varpi }{4}},$ ou, etc.

98. Donc, si la fonction proposée est de la forme

$f\left[(x',x'')(x''')(x^{\text{ıv}})\ldots \right]$

qui a la propriété de demeurer la même en échangeant $x'$ en $x''$ (88), toutes les racines de l’équation $\Theta =0$ seront égales deux à deux ; de sorte que cette équation s’abaissera au degré ${\frac {1.2.3\ldots \mu }{2}}.$

De même la fonction

$f\left[(x',x'',x''')(x^{\text{ıv}})(x^{\text{v}})\ldots \right]$

devant demeurer la même, quelque permutation qu’on y fasse entre les trois racines $x',x'',x'''',$ il s’ensuit que l’équation $\Theta =0$ aura toutes ses racines égales $1.2.3$ à $1.2.3\,;$ de sorte qu’elle s’abaissera au degré ${\frac {1.2.3\ldots \mu }{1.2.3}}.$

Et la fonction

$f\left[(x',x'')(x''',x^{\text{ıv}})(x^{\text{v}})\ldots \right],$

qui doit demeurer la même, quelque permutation qu’on fasse entre les deux racines $x',x'',$ ainsi qu’entre les deux $x''',x^{\text{ıv}},$ donnera une équation $\Theta =0$ où les racines seront toutes égales $1.2\times 1.2$ à $1.2\times 1.2\,;$ de sorte qu’elle s’abaissera au degré ${\frac {1.2.3\ldots \mu }{1.2\times 1.2}}.$

En général, la fonction

$f\left[\left(x',x'',x''',\ldots x^{(\alpha )}\right)\left(x^{(\alpha +1)},x^{(\alpha +2)},x^{(\alpha +3)},\ldots ,x^{(\alpha +\beta )}\right)\left(x^{(\alpha +\beta +1)},\ldots \right)\ldots \right]$

donnera une équation $\Theta =0,$ où la quantité $\Theta$ sera une puissance qui