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on parviendra, ainsi qu’on l’a déjà vu, aux deux équations de conditions

$p-g(m-f)-f\left[n-g-f(m-f)\right]=0,$

$q-g\left[n-g-f(m-f)\right]=0,$

dont la première donne d’abord

$g={\frac {p-nf+mf^{2}-f^{2}}{m-2f}}\,;$

ainsi, ayant $g$ exprimé rationnellement en $f,$ il suffira de trouver la valeur de $f$ pour avoir celle de $g$ sans aucune extraction de racines. Cependant, s’il arrive que la valeur de $f$ soit égale à ${\frac {m}{2}}$ et qu’on ait en même temps $p={\frac {mn}{2}}-{\frac {m^{3}}{8}},$ cette valeur de $f$ donnera $g={\frac {0}{0}}\,;$ et il faudra alors, pour connaître la valeur de $g,$ avoir recours à l’autre équation où $g$ monte au second degré, et qui est

$g^{2}-\left(n-mf+f^{2}\right)g+q=0\,;$

de sorte qu’en mettant ${\frac {m}{2}}$ à la place de $f$ on aura celle-ci

$g^{2}-\left(n-{\frac {m^{2}}{4}}\right)g+q=0,$

par la résolution de laquelle il faudra donc déterminer $g.$ Or je dis que le cas dont il s’agit est celui où la valeur ${\frac {m}{2}}$ de $f$ sera une racine double de l’équation en $f.$

Pour le prouver nous remarquerons que cette équation en $f$ doit venir de la substitution de la valeur de $g$ tirée de la première équation, dans la seconde ; ainsi faisant, pour abréger,

$p-nf+mf^{2}-f^{3}=\mathrm {P} ,\quad m-2f=\mathrm {Q} ,$

en sorte que $g=\mathrm {\frac {P}{Q}} ,$ on aura, pour l’équation en $f,$ celle-ci

$\mathrm {P} ^{2}-\left(n-mf+f^{2}\right)\mathrm {PQ} +q\mathrm {Q} ^{2}=0$,