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laquelle étant développée montera au sixième degré et se trouvera la même que celle du numéro cité 35 ; or il est visible que, lorsque $p={\frac {mn}{2}}-{\frac {m^{3}}{8}},$ une des racines de cette équation sera égale a ${\frac {m}{2}},$ parce qu’en faisant $f={\frac {m}{2}}$ on aura en même temps $\mathrm {P} =0$ et $\mathrm {Q} =0\,;$ et comme ces deux conditions détruisent, non-seulementtous les termes de l’équation dont il s’agit, mais aussi ceux de sa différentielle qui sera

$2\mathrm {P} d\mathrm {P} -(2fdf-mdf)\mathrm {PQ} -\left(n-mf+f^{2}\right)(\mathrm {P} d\mathrm {Q} +\mathrm {Q} d\mathrm {P} )+2q\mathrm {Q} d\mathrm {Q} =0,$

il s’ensuit que la racine $f={\frac {m}{2}}$ sera une racine double de la même équation.

103. Nous avons supposé jusqu’ici que les deux fonctions $t$ et $y$ étaient semblables ; considérons maintenant le Problème dans toute sa généralité en supposantque ces fonctions soient d’une forme quelconque.

Qu’on fasse successivement dans l’une et l’autre fonction toutes les permutations possibles entre les racines $x',x'',x''',\ldots$ dont elles sont composées, en n’ayant cependant aucun égard à celles de ces permutations qui redonneraient à la fois les mêmes valeurs de $t$ et de $y,$ et il en résultera un égal nombre $\varpi$ de valeurs correspondantes de $t$ et de $y,$ que l’on désignera, comme dans le n^o 100, par $t',t'',t''',\ldots ,t^{(\varpi )},$ et par $y',y'',y''',\ldots ,y^{(\varpi )}.$ Dans le cas où les deux fonctions $t$ et $y$ sont semblables, les valeurs $t',t'',t''',$$\ldots ,t^{(\varpi )},$ seront toutes exprimées d’une manière différente, et seront les racines de l’équation la plus simple $\theta =0$ qui servira à déterminer la fonction $t$ en $m,n,p,\ldots ,$ et il en sera de même des valeurs $y',y'',y''',\ldots ,y^{(\varpi )}\,;$ ce qui n’empêche cependant pas que quelques-unes des valeurs de $t$ ou de $y$ ne puissent être égales entre elles, comme dans le cas que nous avons examiné dans le n^o 102 ; il s’agit ici uniquement de la forme de ces valeurs et non de leur quantité absolue. Au contraire, lorsque les fonctions $t$ et $y$ ne seront pas semblables, il arrivera nécessairement que parmi les valeurs $t',t'',t''',$$\ldots ,t^{(\varpi )},$ ou $y',y'',y''',\ldots ,y^{(\varpi )}$ il y en aura qui seront les mêmes, en sorte que le nombre des valeurs différentes de $t$ ou de $y$ sera moindre que $\varpi ,$ et il est facile de conclure de ce que nous avons démontré dans le n^o 97 que ce nombre